立方体の一辺の長さ - 球面倶楽部零八式 mark II

原点 $\rm O$ を1つの頂点とする立方体がある， $\rm O$ と隣り合う頂点を $\rm A，B，C$ とおき，その $z$ 座標が $a，b，c$ のとき，立方体の一辺の長さを求めよ．

という問題を発掘した．出典は不明．

立方体の1辺の長さを $L$ とおくと
$A=\dfrac{1}{L}\begin{pmatrix} □& □& □\\ □&□&□\\ a & b & c \end{pmatrix}$ は直交行列．

$AA^{\top}$ の $(3,3)$ 成分から $1=\dfrac{1}{L^2}(a^2+b^2+c^2)$

よって立方体の一辺の長さは $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ となる．