単位円で切り取られる放物線の弦 - 球面倶楽部零八式 mark II

https://twitter.com/KS_Mathematics/status/1367758434414731267

単位円の中に含まれる放物線の弧長が4より大きくなることがあるか？

［解答]

$y=\dfrac{4+\sinh^2 4}{8}x^2-1$ の単位円の内部に含まれる部分は
$-\dfrac{4\sinh 4}{\sinh^2 4+4}\leqq x\leqq \dfrac{4\sinh 4}{\sinh^2 4+4}$
で，その弧長 $l$ は
$\displaystyle\int\sqrt{x^2+1}dx=\dfrac{1}{2}\{x\sqrt{x^2+1}+\sinh^{-1} x\}+C$
を利用すると
$l=\dfrac{4(\sinh 4\cosh 4+4)}{\sinh^2 4 +4}$ $=\dfrac{4(\sinh 4\cosh 4+4)}{\sinh 4 \cosh 4\tanh 4+4}$ $\gt \dfrac{4(\sinh 4\cosh 4+4)}{\sinh 4 \cosh 4+4}=4$
である（∵ $0\lt \tanh 4\lt 1$ ）．

$(0,-1)$ を頂点として $(\sin 2t,\cos 2t)（t\in(0,\dfrac{\pi}{2}））$ を通る放物線を考えれば，この放物線の $-\sin 2t\leqq x\leqq \sin 2t$ の部分は円の内部にある（放物線と円の交点の $x$ 座標は4次方程式の解で， $x=0(2重解),\pm\sin 2t$ の4つを尽しているから）

$y=\dfrac{1}{2\sin^2 t}x^2-1$ となり，弧長は $X=\dfrac{1}{\sin^2 t}x$ として
$L(t)=2\displaystyle\int_{0}^{\sin 2t}\sqrt{\dfrac{x^2}{\sin^4 t}+1}\,dx$ $=2\sin^2 t\displaystyle\int_{0}^{2\cot t}\sqrt{X^2+1}\, dX$ $=\sin^2 t \Bigl\{2\cot t \sqrt{4\cot^2 t+1}+\sinh^{-1}(2\cot t)\Bigr\}$
となる．

$u=\sinh^{-1} (2\cot t)$ とすると， $2\cot t=\sinh u$ だから，
$\sqrt{4\cot^2 t+1}=\cosh u$ ， $\sin^2 t = \dfrac{1}{1+\cot^2 t}=\dfrac{4}{4+\sinh^2 u}$
となり，
$L(t)=\dfrac{4(\sinh u\cosh u+u)}{4+\sinh^2 u}$ $=\dfrac{4(\sinh u\cosh u+u)}{\sinh u \cosh u \tanh u+4}=:A(u)$
となるが， $u\gt 0$ で $0\lt \tanh u\lt 1$ だから
$A(u)\gt \dfrac{4(\sinh u\cosh u+u)}{\sinh u \cosh u+4}$
が成立する

よって，
$A(4)\gt \dfrac{4(\sinh 4\cosh 4+4)}{\sinh 4 \cosh 4+4}=4$
となるので，単位円の内部にある弧長が4より大きくなることがあることが示された．

つまり $y=\dfrac{4+\sinh^2 4}{8}x^2-1$ の単位円の内部に含まれる弧長は4より大きい．

$u=4$ のとき，
$\sinh 4\approx 27.289917197128$
$\cosh 4\approx27.308232836017$
$\tanh 4\approx0.99932929973907$
であるから， $\sin^2 t\approx4.00537100498$ となり，放物線の式は $y=93.5924475783 x^2-1$ となり，弧長は $4.00267025963$ となる．

なお，数値計算で求めた弧長を最大にする $u$ は $u=4.0026704$ のときであり，そのときの放物線の式は $y=94.0913003613 x^2-1$ となり，弧長は $4.0026703$ となっているので， $u=4$ はかなり頂点が $(-1,0)$ の場合の最大弧長を与える数値に近い．