結局のところ…

数学

正 2n+1 角形（n\geqq 3） に対して
a+b+c=2n-1，d+e+f=2n+3
かつ
ace=bdf
をみたす自然数 a,b,c,d,e,f（ただしa,b,e,fは偶数）の組は十分条件となっているので，このような組が必ず存在することを言えば良いのか．

k を n と偶奇が同じ n 未満の自然数とするとき，
a=b=n-k，c=d=2k-1，e=f=n-k+2
というほぼ自明な組が存在するので大丈夫という訳だな．

の n=7（周長 30） で
a=6，b=2，c=5，d=3，e=2，f=12
という例はこれをみたしていないが，この条件は弧長ではなくて本当は弦の長さの関係式なので，
\sin\dfrac{6}{30}\pi\times\sin\dfrac{5}{30}\pi\times\sin\dfrac{2}{30}\pi
=\sin\dfrac{2}{30}\pi\times\sin\dfrac{3}{30}\pi\times\sin\dfrac{12}{30}\pi
が成立していれば良く，実際，
\sin\dfrac{6}{30}\pi\times\sin\dfrac{5}{30}\pi=\sin\dfrac{3}{30}\pi\times\sin\dfrac{12}{30}\pi
が成立してそうなので大丈夫のようだ．

\sin a\sin b=\sin c\sin d
が成立する a,b,c,d の十分条件って例えばどんなのがあるのかな。難しいな。