三角柱の切り口に正三角形があること - 球面倶楽部零八式 mark II

雑誌大学への数学1985年4月号の宿題

「空間に固定された3角形Ｔがある。Ｔがどのような形状の3角形であっても、適当な平面に正射影することによって正3角形にできること、逆にＴが正3角形のとき、適当な平面に正射影することによってどのような形状の3角形にもできることを証明せよ。」

と同じ問題。雑誌に記載されたレポートは、

「空間に固定された3角形Ｔがある。Ｔがどのような形状の3角形であっても、適当な平面に正射影することによってどのような形状の3角形にもできること」

を証明していた。

Ｔの3辺の長さを $a,b,c$ （ $a\geqq b\geqq c$ ）とする．これを適当な正射影で $d:e:f$ （ $0 \lt d\leqq e\leqq f$ ）の3角形にできることを示せば良い。

${\rm OA}=dx$ ， ${\rm OB}=ex$ ， ${\rm AB}=fx$ なる3角形を底面とする三角柱を考える．
${\rm P}$ を ${\rm A}$ の上方 $y+z$ ， ${\rm Q}$ を ${\rm B}$ の上方 $y$ の位置にとったときに，
${\rm OP}=a$ ， ${\rm OQ}=b$ ， ${\rm PQ}=c$ となっているような ${\rm O,A,B,P,Q}$ が存在するかという問題になる．

そのためには，
$a^2=(dx)^2+(y+z)^2$ ， $b^2=(ex)^2+y^2$ ， $c^2=(fx)^2+z^2$
なる $x\gt0$ ， $y\geqq0$ ， $z\geqq0$ の存在を示せばよい．

そしてそれは，
$f(x)=a^2-(dx)^2-\{\sqrt{b^2-(ex)^2}+\sqrt{c^2-(fx)^2}\}^2=0$
をみたす実数 $x$ （ $0\lt x\leqq\dfrac{c}{f}\leqq\dfrac{b}{e}$ ）が存在することと同値．

この範囲で $f(x)$ は連続で $f(0)=a^2-(b+c)^2\lt 0$ （3角形の成立条件），
$f\Bigl(\dfrac{c}{f}\Bigr)=(a^2-b^2)+\dfrac{c^2}{f^2}(e^2-d^2)\geqq 0$
だから，中間値の定理により， $f(x)=0$ をみたす $x$ （ $0\lt x\leqq\dfrac{c}{f}\leqq\dfrac{b}{e}$ ）が存在する．

ちなみに，正射影は一方方向の縮小という1次変換を行なったと考えることができるので，次のように示すこともできる．

(a) 任意の三角形を重心が原点Oとなるように平行移動したものを△ABCとする．
(b) A,Bを $(1,0)，\Bigl(-\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)$ に移す線型変換 $f$ で△ABCは正三角形にうつる．
(c)その正三角形の外接円を $f^{-1}$ で移すとその円は△ABCに外接する楕円になる．
(d)この楕円の長軸を縮小して短軸と同じ長さにすれば，△ABCを一方方向に縮小して正三角形が得られる．

三角柱の切り口に正三角形があることを示す問題が、2010年お茶の水大学に出題されているそうな。