二次元重心座標

数学

平面上の点をA(a_1,a_2)などとする．
det \begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_2 & a_1 \\ 1 & b_1 & b_2 & b_1 \\ 1 & c_1 & c_2 & c_1 \\ 1 & x_1 & x_2 & x_1 \end{pmatrix}=0
を展開すると
0=det \begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_2 \\1 & b_1 & b_2 \\ 1 & c_1 & c_2 \end{pmatrix}x_1- det \begin{pmatrix}1 & a_1 & a_2 \\ 1 & b_1 & b_2 \\ 1 & x_1 & x_2 \end{pmatrix}c_1
+det \begin{pmatrix}1 & a_1 & a_2 \\ 1 & c_1 & c_2 \\ 1 & x_1 & x_2 \end{pmatrix}b_1-det \begin{pmatrix}1 & b_1 & b_2 \\1 & c_1 & c_2 \\ 1 & x_1 & x_2\end{pmatrix}a_1

ここで例えば
det \begin{pmatrix}1 & a_1 & a_2 \\ 1 & b_1 & b_2 \\ 1 & c_1 & c_2 \end{pmatrix}= det \begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_2 \\ 0 & b_1-a_1 & b_2-a_2 \\ 0 & c_1-a_1 & c_2-a_2\end{pmatrix}
= det \begin{pmatrix} b_1-a_1 & b_2-a_2 \\ c_1-a_1 & c_2-a_2 \\ \end{pmatrix}= det \begin{pmatrix}b_1-a_1 & c_1-a_1 \\ b_2-a_2 & c_2-a_2 \\ \end{pmatrix}= det(\vec{AB}\, \vec{AC})
であるから，
det(\vec{AB}\quad \vec{AC})x_1=det(\vec{AB}\quad \vec{AX})c_1+det(\vec{CA}\quad \vec{CX})b_1+det(\vec{BC}\quad \vec{BX})a_1

ここで\dfrac{1}{2} det (\vec{AB}\quad \vec{AC})が\triangle ABCの符号付き面積（A，B，Cが反時計回りにあるとき正，時計回りにあるとき負）だから
\triangle ABC\cdot x_1= \triangle ABX\cdot c_1 + \triangle CAX \cdot b_1 + \triangle BCX\cdot a_1
= \triangle XBC\cdot a_1 + \triangle XCA \cdot b_1 + \triangle XAB\cdot c_1

同様に
\triangle ABC\cdot x_2= \triangle XBC\cdot a_2 + \triangle XCA\cdot b_2 + \triangle XAB\cdot c_2
だから
\triangle ABC\cdot \vec{OX}= \triangle XBC\cdot\vec{OA} + \triangle XCA\cdot \vec{OB} + \triangle XAB\cdot \vec{OC}
つまり
\vec{OX}=\dfrac{\triangle XBC}{\triangle ABC}\cdot \vec{OA}+\dfrac{\triangle XCA}{\triangle ABC}\cdot \vec{OB} +\dfrac{\triangle XAB}{\triangle ABC}\cdot\vec{OC}

ここで \alpha=\dfrac{\triangle XBC}{\triangle ABC}, \quad\beta=\dfrac{\triangle XCA}{\triangle ABC},\quad\gamma=\dfrac{\triangle XAB}{\triangle ABC}
とおくと，\alpha+\beta+\gamma=1であるから，これは重心座標の表現．

つまり，XのA，B，Cに関する重心座標(\alpha,\beta,\gamma)は\triangle ABCを新しい点Xを設けて３つの三角形に分割したときの面積比を表している．このことから，二次元重心座標は面積座標（area coordinate）とも呼ばれる．