2024年（令和6年）東京大学大学院数理科学研究科数理科学専攻修士課程専門科目Ａ（必答）

第1問
3次巡回行列の固有値・固有空間の話． $T_{a,b,c}$ の固有値は $\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}\sqrt{-1}}{2}$ とおくと
$c+a+b$ ， $\alpha=c+a\omega^2+b\omega$ ， $\overline{\alpha}=c+a\omega^2+b\omega$
であり，対応する固有ベクトルは順番に
$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 1 \\ \omega \\ \omega^2\end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 1 \\ \omega^2 \\ \omega\end{pmatrix}$
である．ここで
$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\perp\begin{pmatrix} 1 \\ \omega \\ \omega^2\end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\perp\begin{pmatrix} 1 \\ \omega^2 \\ \omega\end{pmatrix}$
から， $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ の直交補空間 $x+y+z=0$ の像は $x+y+z=0$ に含まれることがわかる．

なお， $T_{a,b,c}$ の表す線型変換は軸 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ に関して120度回転した位置にある基本ベクトルを，軸 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ に関して120度回転した位置にあるベクトルに移すので，軸 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ に関するずらし変換と拡大と軸 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ に関する回転の合成で表現できる．そして線型独立な基本ベクトルの像が全て $\vec{x}\mapsto rR_{(1,1,1)} \left\{\vec{x}+k\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\right\}$ の形でかけるので、全てのベクトルの像がこの変換に従うことがわかる．

よって $T_{a,b,c}$ の rank が 1 ならば、T の image は軸 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ となる．よって求める条件は $a=b=c\neq 0$

(2) (1) のとき， $T_{a,b,c}$ は実対称行列であるから ker は image $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ の直交補空間で $x+y+z=0$ であり，これが $T_{p,q,r}$ の image である．

このとき， $\begin{pmatrix} r \\ q \\ p\end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} p \\ r \\ q\end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} q \\ p \\ r\end{pmatrix}$ が $x+y+z=0$ 上で(縮退せずに)正三角形をなすことが必要十分であるから求める必要十分条件は

$p+q+r=0$ かつ「 $p=q=r=0$ ではない」

となる．

第1問 [解答]
(1) $\begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z\end{pmatrix}=T_{a,b,c}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}$ とおく．

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$ の像 $\begin{pmatrix} c \\ b \\ a\end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} a \\ c \\ b\end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} b \\ a \\ c\end{pmatrix}$ は
平面 $X+Y+Z=a+b+c$ 上の3点で，どの2点間の距離も $\sqrt{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}$ で等しい3点となっている．

(i) $a+b+c=0$ のとき：

(a) 3点と原点は同一平面上にあり，
$\sqrt{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}=0$ （ $a=b=c=0$ ）のとき，
基本ベクトルの像は全て零ベクトルになるので
$\mbox{Image}\, T_{a,b,c}=\{\mathbf{0}\}$
となり，
$\mbox{rank}\, T_{a,b,c}=0$ ， $\mbox{Ker}\, T_{a,b,c}=\mathbb{R}^3$
となる．

(b) $\sqrt{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}\neq 0$ （ $a=b=c=0$ ではない）のとき，
基本ベクトルの像は原点を通る平面 $X+Y+Z=0$ 上で原点を重心とする（1点でない）正三角形をなすので
$\mbox{Image}\, T_{a,b,c}=\{(X,Y,Z)\,|\, X+Y+Z=0\}$
となり，
$\mbox{rank}\, T_{a,b,c}=2$ ， $\mbox{Ker}\, T_{a,b,c}=\mbox{Span}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\right\}$ …(★)
となる．

(ii) $a+b+c\neq 0$ のとき：

3点を含む平面は原点を含まないので，

(a) $\sqrt{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}=0$ （ $a=b=c\neq 0$ ）のとき，
基本ベクトルの像は全て一致し，零ベクトルではなく，全ての成分が同じで $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ に平行であるから
$\mbox{Image}\, T_{a,b,c}=\mbox{Span}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\right\}$
となり，
$\mbox{rank}\, T_{a,b,c}=1$ ， $\mbox{Ker}\, T_{a,b,c}=\{(X,Y,Z)\,|\, X+Y+Z=0\}$
となる．

(b) $\sqrt{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}\neq 0$ のとき，
基本ベクトルの像と原点で正三角錐をなすので
$\mbox{Image}\, T_{a,b,c}=\mathbb{R}^3$
となり，
$\mbox{rank}\, T_{a,b,c}=3$ ， $\mbox{Ker}\, T_{a,b,c}=\{\mathbf{0}\}$
となる．

以上から， $a=b=c(\neq 0)$ が必要十分条件．

(2) (★)の場合（(1)(i)(b)）となれば良いので「 $p+q+r=0$ かつ $p^2+q^2+r^2\neq 0$ 」である．

第2問

結局、単位球面上で $\sum x_i^3$ の値域を考えているのだから，最大値，最小値は存在し，最大値は 1つだけ正で残りが全部0の場合で1，最小値は全部等しいときで $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ となる．

第2問 [解答]
(1) $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$ $=\dfrac{3x_i^2}{||\mathbf{x}||^3}-3\dfrac{\sum x_i^3}{||\mathbf{x}||^4}\cdot \dfrac{x_i}{||\mathbf{x}||}$ $=\dfrac{3x_i^2}{||\mathbf{x}||^3}-\dfrac{3x_i \sum x_i^3}{||\mathbf{x}||^5}=0$
により
$x_i(x_i ||\mathbf{x}||^2-\sum x_i^3)=0$
だから， $x_i\neq 0$ となるものを $z_k$ とすると
$z_k \sum z_k^2=\sum z_k^3$ for all $k$
で $\min z_k=m$ ， $\max z_k=M$ とおくと
$\sum z_k^3=m \sum z_k^2\leqq M \sum z_k^2=\sum z_k^3$
から $m \sum z_k^2=M \sum z_k^2$ であり， $\sum z_k^2\neq 0$ から $m=M$ となる．つまり非零の $x_i$ は全て等しくなる．

よって「 $\mathbf{x}$ は非零の成分が全て等しいような点」となる．

(2) $y_i=\dfrac{x_i}{||\mathbf{x}||}$ for all $i$ とおくと
$\sum y_i^2=1$ （ $y_i$ は非負で全てが0でない）のときの $\sum y_i^3$ の最大値，最小値を求めれば良い．

$0\leqq y_i\leqq 1$ for all $i$ より
$y_i^3\leqq y_i^2$ for all $i$ （等号は $y_i=0$ or $1$ ）より
$\sum y_i^3 \leqq \sum y_i^2=1$
だから最大値は $y_i$ が1つだけ正で残りが全部 $0$ ，つまり $x_i$ のうち1つだけが正で残りが全て $0$ の場合で $1$ となる．

また， $y_i^2=t_i$ とおくと
$\sum t_i=1$ のときの $\sum t_i^{3/2}$ の最小値を求めることになる．
$f(t)=t^{3/2}$ は下に凸だから Jensen の不等式により
$\dfrac{1}{n}\sum t_i^{3/2}\geqq f\left(\dfrac{1}{n}\sum t_i\right)$ $=f\left(\dfrac{1}{n}\right)$ $=\dfrac{1}{n\sqrt{n}}$
だから
$\sum y_i^{3}\geqq \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ （等号成立は全ての $y_i$ が等しいとき）
となる．よって最小値は全ての $x_i$ が等しいときで $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ となる．