回転体体積の裏ワザ：軸の正射影と体積の関係

大数1988年3月号p.62-63 の記事でなるほどと思ったやつ．

平面 $\pi$ 上の図形 $D$ を直線 $l$ のまわりに回転した体積 $V_{l}$ ， $D$ を直線 $m$ （ $l$ の正射影）のまわりに回転した体積 $V_{m}$ とするとき， $V_{l}=V_m\cos\theta$ （ただし $\theta$ は $l$ と $m$ のなす角）

証明は本誌よりも丁寧に書いておくと，
$\pi$ を $xy$ 平面， $m$ を $x$ 軸， $l$ を原点を通り方向ベクトルが $(\cos\theta,0,\sin\theta)$ の直線とするとき， $D$ の平面 $x=k$ による切り口と $(k,0,0)$ との距離の最大を $M(k)$ ，最小を $m(k)$ とすると
$V_m=\displaystyle\int \pi\{M(k)^2-m(k)^2\}\,dk$
である．一方 $l$ 上の点 $u(\cos\theta,0,\sin\theta)$ を通り $l$ に垂直な直線
$\cos\theta(x-u\cos\theta)+\sin\theta(z-u\sin\theta)=0$ ，
つまり $(\cos\theta)x+(\sin\theta)z=u$ による $D$ の切り口は $D$ の平面 $x=\dfrac{u}{\cos\theta}$ による切り口と一致するので， $\dfrac{u}{\cos\theta}=k$ とおくと $du=(\cos\theta)\,dk$ であるから，
$V_l=\displaystyle\int \pi\{M(k)^2-m(k)^2\}\,du$ $=(\cos\theta)\displaystyle\int \pi\{M(k)^2-m(k)^2\}\,dk$ $=(\cos\theta)V_m$
となる．