累乗平均（p乗平均） - 球面倶楽部零八式 mark II

2024年第1回束大実戦理系2番

[2] $a,b$ は $a\gt b\gt 0$ を満たす定数とする． $x\gt 0$ において定義された関数
$f(x)=\left(\dfrac{a^x+b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$
がとりうる値の範囲を求めよ．

これは正数 $a$ ， $b$ の $x$ 乗平均で全実数 $x$ について定義され（ $x=0$ のときは $x\to 0$ の極限）， $x$ について単調増加であることが知られている．そして $x\to-\infty$ で最小値， $x=-1$ で調和平均， $x\to 0$ で幾何平均（相乗平均）， $x=1$ で算術平均（相加平均）， $x\to+\infty$ で最大値を与えることが知られている．

注) 統計では $p$ 乗平均は $\dfrac{a^p+b^p}{2}$ と $p$ 乗根をとる前の段階を指すのが一般的．

[解答]
$A=\dfrac{b}{a}$ とおくと $0\lt A\lt 1$ である．このとき
$g(x)=\log f(x)-\log a=\dfrac{\log\dfrac{1+A^x}{2}-\log\dfrac{1+A^0}{2}}{x}$
であるから，
$h(x)=\log\dfrac{1+A^x}{2}$
とおくと， $g(x)$ は $(0,h(0))=(0,0)$ ， $(x,h(x))$ を結ぶ直線の傾きである．
$h'(x)=\log K\cdot\dfrac{A^x}{1+A^x}\lt 0$ ，
$h''(x)=(\log K)^2\cdot\dfrac{A^x}{(1+A^x)^2}\gt 0$
である．

つまり $h(x)$ は $x\gt 0$ で単調減少で下に凸だから傾き関数 $g(x)$ は単調増加となる．

注）式で求めるなら
$g'(x)=\dfrac{xh'(x)-h(x)}{x^2}$ $=\dfrac{1}{x^2}\{(xh'(x)-h(x))-(0\cdot h'(0)-h(0))\}$
であり，平均値の定理から
$g'(x)=\dfrac{1}{x^2}\cdot ch''(c)$
をみたす $0\lt c\lt x$ が存在するので $h''(c)\gt 0$ より $g'(x)\gt 0$
だから関数 $g(x)$ は単調増加となる．

ここで
$\displaystyle\lim_{x\to 0+0} g(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0+0} h'(x)=\dfrac{1}{2}\log K(\lt 0)$
（平均値の定理やロピタルの定理を使っても得られる），
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{h(x)}{x}=\dfrac{\log(1/2)}{+\infty}=0$
だから $g(x)$ の値域は $\dfrac{1}{2}\log K\lt g(x)\lt 0$ となる．よって $\dfrac{1}{2}\log ab \lt \log f(x)\lt \log a$ から $f(x)$ の値域は
$\sqrt{ab} \lt f(x)\lt a$
となる．

累乗平均の単調性については Jensen の不等式を用いても示すことができる．例えば
manabitimes.jp

参照．