公式に代入しただけなのに - 球面倶楽部零八式 mark II

こーゆーのって初見でどーやって考えるん🤔 pic.twitter.com/s0QQhpDtFp
— ふゆ (@fuyu33_) 2024年3月27日

$a,b,c$ が実数で $a+b+c=3$ ， $a^2+b^2+c^2=3$ のとき $a=b=c=1$ を示せ．

に対して統計の「公式」 $(分散)=(2乗平均)-(平均)^2$ を使って分散が0だから $a=b=c=(平均)=1$ という解法が寄せられて

どなたかの解答で
平均1、二乗平均1より分散0
っていうのが一番かっこよかった！ https://t.co/vZ5DxDvCYr
— 十六夜♪ (@ddrerizayoi) 2024年3月28日

と褒めるツイートがあった後に

統計学の定理は代数的に証明されているので、代数的な問題を統計学の定理を使うのはあまり適切ではないと思うのだけど。統計学の定理の証明を真似したら証明できましたっていうのならいいと思うけど。 https://t.co/ubxHC6xlL3
— 加藤公一（はむかず） (@hamukazu) 2024年3月29日

統計学の定理は代数的に証明されているので、代数的な問題を統計学の定理を使うのはあまり適切ではないと思うのだけど。統計学の定理の証明を真似したら証明できましたっていうのならいいと思うけど。

とか有害なツイートをしている．何が有害かというと統計の「公式」を用いて分散が0となることを「計算」して分散が0となったことから
「 $a=b=c=(平均)=1$ 」が成立するので証明が完了したという特に間違ってないことに対して「適切でない」とか有害なことを言っている。

これって、

点と平面の距離という定理は代数的に証明されているので、代数的な問題を点と平面の距離という定理を使うのはあまり適切ではないと思うのだけど。点と平面の距離という定理の証明を真似したら証明できましたっていうのならいいと思うけど。

コーシー=シュワルツの不等式は代数的に証明されているので、代数的な問題をコーシー=シュワルツの不等式を使うのはあまり適切ではないと思うのだけど。コーシー=シュワルツの不等式を真似したら証明できましたっていうのならいいと思うけど。

と言っていることと同じですね。統計の分散公式は定理と言う人もいるかも知れないが単なる展開公式。本当に何を言っているかわからない。証明として何の問題もない。

(1) 平均からの偏差の2乗平均を分散と定義する

(2) このとき分散の値は $(2乗平均)-(平均)^2$ に等しい(高校の教科書に載っている公式だから使うのに証明が必要とかありえない)

(3) 与えられた数値を代入すると分散の値が0になった(高校の教科書に載っている公式から分散の値を計算しただけ)

(4) だからデータの値は全て等しくて平均値に等しい(分散が0なら平均からのずれの2乗和が0となるので言える)

注：「分散は正または0であり、分散が0となるのはデータの値は全て等しくて平均値に等しいときに限る」は習っているが敢えて定義に戻ってみた

という流れのどこに瑕疵があるというのだろうか？全くもって意味不明である．正しいことが確認された式変形を用いることがあまり適切ではないとか意味がわからないよ。

と書いてみたものの、

つまり「平均1、二乗平均1より分散0、よって明らか」っていうなら「平均1、二乗平均1ならば分散0である」ことを証明すべきでは。
— 加藤公一（はむかず） (@hamukazu) 2024年3月29日

つまり「平均1、二乗平均1より分散0、よって明らか」っていうなら「平均1、二乗平均1ならば分散0である」ことを証明すべきでは。

ともっとひどい内容であった。これは証明すべきことではなく、高校の教科書に載っている分散の定義とは違った計算の方法（計算公式）なのだから証明せずに使って良いこと。習ったことを使ってはいけないって、つらすぎる。

問題文は一般的なデータに対して
「平均の2乗と2乗平均が等しいとき全てのデータが平均値に等しいことを証明せよ」
ではなく具体的なデータに関して
「平均の2乗と平均が与えられたときに全てのデータが平均値に等しいことを証明するために、平均の2乗と2乗平均を比べてみたら言えた」
のだから何の問題もない。

それはそれとして、この Post(Tweet) に対して

わかりにくい循環論法っことか
— Shinji Kono (@shinji_kono) 2024年3月29日

わかりにくい循環論法っことか

とか呆れる。分散公式に数値を代入して分散の値を求めているだけなので何も循環していない。fj の頃から進歩がない。

追記しておくと、牛刀割鶏であるというならまぁわかる．実際そうだし。

例えば、Cauchy–Binet の公式により(この場合、Lagrange の恒等式と同じだが)
$(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2$
が成立するので
$(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2=0$
となり， $a=b=c$ となり， $a+b+c=3$ から $a=b=c=1$ となる．

という証明があるが，これも

Cauchy–Binet の公式は代数的に証明されているので、代数的な問題をCauchy–Binet の公式を使うのはあまり適切ではないと思うのだけど。Cauchy–Binet の公式を真似したら証明できましたっていうのならいいと思うけど。

となるんでしょうかね。Cauchy–Binet の公式は高校の教科書に載ってないから駄目とな言うんじゃなかろうな。

ちなみに、Cauchy–Binet の公式により(この場合、Lagrange の恒等式)から得られた式を一般化すると
$\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n 1^2\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2\right)$ $=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\right)^2+\displaystyle\sum_{i\lt j}(x_i-x_j)^2$
となるので
$v_x=\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{i\lt j}(x_i-x_j)^2$
が成立するが，この式が書いてある統計の本ってほとんどない（少なくとも1つはある）。

参考：Lagrange の恒等式
$\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2\right)$ $=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_ix_i\right)^2+\displaystyle\sum_{i\lt j}(a_ix_j-a_jx_i)^2$