独立のときの共分散 - 球面倶楽部零八式 mark II

$X,Y$ が独立のとき， $p(X=x)=p(X+a=x+a)$ ， $p(Y=y)=p(Y+a=y+a)$ だから $X+a,Y+b$ も独立である

よって $a=-\overline{X}$ ， $b=-\overline{Y}$ とした $X-\overline{X}$ と $Y-\overline{Y}$ は独立である．

よって
$\textrm{Cov}[X,Y]$ $=E\left[(X-\overline{X})(Y-\overline{Y})\right]$ $=E\left[(X-\overline{X})\right]\cdot E\left[(Y-\overline{Y})\right]=0$
が成立する．

このような証明もあまり見ないなぁ．実質的には同じだけど普通は
$\textrm{Cov}[X,Y]$ $=E\left[(X-\overline{X})(Y-\overline{Y})\right]$ $=E[XY]-\overline{X}\cdot E[Y]-E[X]\cdot \overline{Y}+\overline{X}\cdot \overline{Y}$ $=E[XY]-\overline{X}\cdot \overline{Y}-\overline{X}\cdot \overline{Y}+\overline{X}\cdot \overline{Y}$ $=E[XY]-\overline{X}\cdot \overline{Y}$ $=0$
のようにやる．

大事なことは， $X-\overline{X}$ と $Y-\overline{Y}$ は独立なのだから，
「わざわざ展開しなくて良いのでは？」
と思えることである．

なお，これから $X_i$ が i.i.d. のとき
$V[X_i+X_j]$ $=V[X_i]+V[X_j]$
が成立する．また独立かどうかに関係なく期待値の和は和の期待値となるので
$E[X_i+X_j]$ $=E[X_i]+E[X_j]$

よって
$E[\overline{X}]=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n E[X_i]$ $=E[X_1]$ ，
$V[\overline{X}]=\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{i=1}^n V[X_i]$ $=\dfrac{1}{n}V[X_1]$
となる．