不偏分散の不偏性の証明 - 球面倶楽部零八式 mark II

$V(a)=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i-a)^2-(\overline{X}-a)^2$
とおくと， $V'(a)=0$ より，これは $a$ について定数関数．

よって
$E\left[V(\overline{X})\right]$ $=E\left[V(\mu)\right]$
$=\sigma^2-E\left[(\overline{X}-\mu)^2\right]$
$=\sigma^2-\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{i=1}^n E\left[(X_i-\mu)^2\right]$
$=\sigma^2-\dfrac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2$ $=\dfrac{n-1}{n}\cdot n\sigma^2$
となる．

おそらくこの証明が一番短い．

2022.10.14追記
もちろん， $V\left[\overline{X}\right]$ を知っていれば
$E\left[V(\overline{X})\right]$ $=E\left[V(\mu)\right]$
$=\sigma^2-E\left[(\overline{X}-\mu)^2\right]$
$=\sigma^2-V\left[\overline{X}\right]$
$=\sigma^2-\dfrac{1}{n}\cdot \sigma^2$ $=\dfrac{n-1}{n}\cdot n\sigma^2$
となり，もっと短くなる．