備忘録：モーリーの定理のコンヌによる証明(その1)

Conway Circle - 球面倶楽部零八式 mark II

に Conway の証明の載せた(リンクだけだった)。

Connes の証明
wakara.co.jp

integers.hatenablog.com
INTEGERS の記事はそのうち非公開化されるかも知れない

2022.11.05追記（ここから）
とリンクを張ったが， Conway の証明へのリンクの下の方に Connes の証明へのリンク
Morley's Redux and More

があって，そこに以下と同じ計算結果があった．まぁ自分でちゃんと計算できたので良かったということにしておこう．

以下で $a_1(j-a_1)(j-a_2)(j-a_3)$ を乗じたところが，リンクでは $a_1^2a_2 j(j-a_1)(j-a_2)(j-a_3)$ を乗じて計算している．
（ここまで）

複素平面におけるアフィン変換
$g:x\mapsto ax+b$ ( $a\neq 0$ )
は $a\neq 0$ のときに限り不動点 $\dfrac{b}{1-a}$ をもつ．

コンヌ(1998)による定理

複素平面におけるアフィン変換群 $G$ の元
$g_1,g_2,g_3$ where $g_i:x\mapsto a_ix+b_i$ ( $i=1,2,3$ )
が

・ $g_1g_2，g_2g_3，g_3g_1，g_1g_2g_3$ はいずれも平行移動でない
（ $a_1a_2，a_2a_3，a_3a_1，a_1a_2a_3$ はいずれも1でない)

・ $\alpha_i=\dfrac{a_{i+1}b_{i+2}+b_{i+1}}{1-a_{i+1}a_{i+2}}$ (mod 3)
（ $\alpha_i$ は変換 $g_{i+1}g_{i+2}$ (mod 3)の不動点）

・ $j=a_1a_2a_3$

とすると

(1) $g_1^3g_2^3g_3^3$ が恒等変換

(2) $j^3=1$ かつ $\alpha_1+j\alpha_2+j^2\alpha_3=0$

は同値　

[証明] 根性で計算する．

$g_1^3g_2^3g_3^3$ の $x$ の像は

$j^3 x+\dfrac{a_1^3-1}{a_1-1}b_1+a_1^3\dfrac{a_2^3-1}{a_2-1}b_2+a_1^3a_2^3\dfrac{a_3^3-1}{a_3-1}b_3$
であるから，(1) と $j^3=1$ かつ
$(a_1^2+a_1+1)b_1+a_1^3(a_2^2+a_2+1)b_2+a_1^3a_2^3(a_3^2+a_3+1)b_3=0$
となるので，後者が $\alpha+j\beta+j^2\gamma=0$ と同値になることを示せば良い．
$\alpha_1+j\alpha_2+j^2\alpha_3=0$
は0でない $a_1(j-a_1)(j-a_2)(j-a_3)$ を乗じた
$\alpha_1a_1(j-a_1)(j-a_2)(j-a_3)$ $+j\alpha_2a_1(j-a_1)(j-a_2)(j-a_3)$ $+j^2\alpha_3a_1(j-a_1)(j-a_2)(j-a_3)=0$
と同値であり，
$\alpha_1=\dfrac{a_{2}b_{3}+b_{2}}{1-a_{2}a_{3}}$ $=\dfrac{a_1(a_{2}b_{3}+b_{2})}{a_1-j}$
などから，
$-a_1(a_1a_2b_3+a_1b_{2})(j-a_2)(j-a_3)$ $-a_1(a_2a_3b_{1}+a_2b_{3})j(j-a_1)(j-a_3)$ $-a_1(a_1a_3b_{2}+a_3b_{1})j^2(j-a_1)(j-a_2)=0$
が得られる．
$b_1$ の係数は $j^2+j+1=0$ を利用すると
$-a_1a_2a_{3}j(j-a_1)(j-a_3)-a_1a_3j^2(j-a_1)(j-a_2)$ $=-a_1a_3\{j^2(1-a_2a_3)-(a_1-j)\}$ $=-a_1a_3(1-a_2a_3)(j^2-a_1)$ $=-a_3(a_1-j)(j^2-a_1)$
$=-a_3\{-a_1^2+(j^2+j)a_1-1\}$ $=a_3(a_1^2+a_1+1)$ ，
$b_2$ の係数は
$-a_1^2(a_2-j)(a_3-j)-a_1^2a_3j^2(a_1-j)(a_2-j)$ $=-a_1^2\{(1-a_3a_1)-j(a_2-j)\}$
$=-a_1^2(1-a_3a_1)(1-ja_2)$
$=-a_1^2(1-a_3a_1)(j^3-ja_2)$
$=-a_1^2(j-ja_3a_1)(j^2-a_2)$
$=-a_1^3a_3(a_2-j)(j^2-a_2)$
$=a_1^3a_3(a_2^2+a_2+1)$ ，
$b_3$ の係数は
$-a_1^2a_2(a_2-j)(a_3-j)-a_1a_2b_3j(a_1-j)(a_3-j)$ $=-a_1a_2\{j(1-a_1a_2)-j^2(a_3-j)\}$
$=-a_1a_2(1-a_1a_2)(j-j^2a_3)$
$=-a_1a_2(1-a_1a_2)(j^4-j^2a_3)$
$=-a_1^3a_2^3a_3(a_3-j)(j^2-a_3)$
$=a_1^3a_2^3a_3(a_3^2+a_3+1)$
となる．