備忘録：ネストすごろく（その1）

数学

[問] 下記のネストすごろくをクリアできる確率はいくらでしょうか？

ネストすごろく：ゲームが始まると、下記のように START のマスにいる状態になります。サイコロを振り、出た目の数だけ右に進みます。GOAL に達するとクリアです。(GOAL を超えて進む目が出たとしてもクリアです)

nest のマスに停まると、ミニゲーム「ネストすごろく」がはじまり、それをクリアすると、つづきができます。

以上です！

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あと k マスでゴールする確率 p_k の存在を仮定し，p_6=x とおくと
p_1=1，
p_2=\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot x\cdot p_1=\dfrac{1}{6}(x+5)，
p_3=\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot x\cdot (p_1+p_2)=\dfrac{1}{36}(x^2+11x+24)，
p_4=\dfrac{3}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot x\cdot (p_1+p_2+p_3)=\dfrac{1}{216}(x^3+17x^2+90x+108)，
p_5=\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot x\cdot (p_1+p_2+p_3+p_4)=\dfrac{1}{1296}(x^4+23x^3+192x^2+648x+432)，
p_6=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot x\cdot (p_1+p_2+p_3+p_4+p_5)=\dfrac{1}{7776}(x^5+29x^4+330x^3+1800x^2+4320x+1296)，
が成立するので，
f(x)=\dfrac{1}{7776}(x^5+29x^4+330x^3+1800x^2+4320x+1296)
とおくと，x=f(x)，つまり
g(x)=x^5+29x^4+330x^3+1800x^2-3456x+1296=0
が成立する．
x\gt 0 で g''(x)\gt 0 だから g(x) は下に凸であり，
g(0.547\cdots)=g(1)=0
だから，確率として 0\leqq x\leqq 1 をみたす x は
x=0.547\cdots,\,1
のいずれかとなる．

ここで
f(x)=\dfrac{1}{7776}x^5+\dfrac{29}{7776}x^4+\dfrac{55}{1296}x^3+\dfrac{25}{108}x^2+\dfrac{5}{9}x+\dfrac{1}{6}
の意味を考えてみよう．

これは例えば「第2層に落ちて(その後もっと下の層に落ちるかも知れないが)第1層に這い上がってきた回数が3回でゴールする確率は \dfrac{55}{1296}x^3」となっていることがわかる．そして \dfrac{55}{1296} はサイコロを振って出た目を累積するときに4回目に初めて6以上となる確率に対応している．実際，その場合の数は {}_4\textrm{C}_2\times 6+{}_3\textrm{C}_2\times 5+{}_2\textrm{C}_2\times 4=36+15+4=55 となっている．

つまり，f(x) の x^i の係数は，サイコロを振って出た目を累積するときに i+1 回目に初めて6以上となる確率となる．

さて，落ちても第 u 層までであり最終的にゴールする確率を q_u とおくと
q_{1}=\dfrac{1}{6}，
q_{u+1}=\dfrac{1}{7776}q_{u}{}^5+\dfrac{29}{7776}q_{u}{}^4+\dfrac{55}{1296}q_{u}{}^3+\dfrac{25}{108}q_{u}{}^2+\dfrac{5}{9}q_{u}{}+\dfrac{1}{6}
が成立する，と考えると

の意味がわかるだろう(他人の褌で相撲をとる)．ということで求める確率は
x=0.547\cdots
となる（最初から落ちても第 u 層で考えれば簡単だった）．

2022.12.23追記
出題者の解答はこちら


その他参考記事
katoufujibanana.hatenadiary.jp