備忘録：ネストすごろく（その2） - 球面倶楽部零八式 mark II

ゴールしたという条件つきのサイコロを振る回数の期待値 $E$ について考える．
ここでネストすごろくでゴールする確率を $P\approx 0.54768380$ とおく．

「第2層に落ちて(その後もっと下の層に落ちるかも知れないが)第1層に這い上がってきた回数が $i$ 回でゴールするときの期待値は，求めるべき期待値 $E$ が存在するならば
$iE+(i+1)$ （植木算）
となるので，期待値のみたすべき方程式は
$E$ $=\dfrac{1}{7776P}\Bigl\{P^5(5E+6)+29P^4(4E+5)$ $+330P^3(3E+4)+1800P^2(2E+3)$ $+4320P(2+E)+1296\times 1\Bigr\}$ ，
が成立する． $F=E+1$ とおくと
$F=\dfrac{1}{7776}(5P^4+4\times 29P^3+3\times 330P^2+2\times 1800P+4320)F+2=f'(P)F+2$
（ $f(x)$ は前記事の $f(x)$ ）となり，よって
$F=\dfrac{2}{1-f'(P)}$
となり，求める期待値 $E$ は
$E=\dfrac{2}{1-f'(P)}-1=\dfrac{1+f'(P)}{1-f'(P)}$ $=12.316507\cdots$
となる．