Car Convoy Problem（その1） - 球面倶楽部零八式 mark II

というのを教えてもらった。

math.stackexchange.com

前に一度投稿したものは違う問題を考えていたので，削除した．解答についてはコメントにある

This calculates $P(L\geqq n)$ , not $P(L=n)$ . So $P(L=n)=P(L\geqq n)−P(L\geqq n+1)=1/n−1/(n+1)$ .
It was obvious your answer could not be correct because $\sum_n P(L=n)$ must be $1$ !
Anonymous
Jun 23, 2020 at 10:05

が正しい．

Cars travel down a one-way single-track road. The $n$ -th driver would like to drive at speed $V_n$ , where $V_1$ , $V_2$ ,..., $V_n$ ,... are i.i.d random variables. Cars will get bunched into convoys. If $V_2\gt V_1\gt V_3$ , then the first convoy will consists of cars $1$ and $2$ , and will be of length $2$ . Let $L$ be the length of the first convoy. Find the probability $\mathsf{P}(L=n)$ and the expectation $\mathsf{E}(L)$ .

一方通行の一本道を車が走る． $n$ 番目の運転手は速度 $V_n$ で走行したい．ここで $V_1$ , $V_2$ ,..., $V_n$ ,... は独立同一分布に従う確率変数である．車は「車列」に分けられる．もし $V_2\gt V_1\gt V_3$ ならば，最初の車列は $1$ 号車と $2$ 号車からなり，長さは $2$ である．最初の車列の長さを $L$ とする．確率 $\mathsf{P}(L=n)$ および期待値 $\mathsf{E}(L)$ を求めよ．

ここで，各 $V_i$ の従う分布は普通の連続分布であるとし，2つの車の速度が一致する確率が0であるとする．すると，
任意の $V_i,V_j$ ( $i\neq j$ ) に対して $V_i\gt V_j$ となる確率は $\dfrac{1}{2}$ として良い．

確率 $\mathsf{P}(L=n)$ は， $V_1\sim V_{n}$ の中で $V_1$ が一番遅く，それよりさらに $V_{n+1}$ が遅い確率である．よって， $V_1\sim V_{n+1}$ が小さい順番に $V_{n+1},V_1$ となる確率だから
$\mathsf{P}(L=n)$ $=\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ となる．