ある点で微分可能な関数はその点の付近でほぼ直線とみなせるのか？

(基本的に批判的な記事は時間を置いて批判の部分を書き直します)

直線とみなせる、という意味を素直に「直線とは幅をもたない」と考えて無限の解像度で一致するかどうかを考えてしまうと、どんなに拡大してもずれが残ってしまうので「直線とはみなせない」と考えてしまうだろう。

$\varepsilon\delta$ 論法による極限の考え方では、「近似」とは、「ある解像度では見分けがつかない」ということであり、「極限値をもつ」とは、「任意の解像度で見分けがつかなくできる」ということだから，「ある点で微分可能な関数はその点の付近でほぼ直線とみなせる」とは、 $x=a$ における微分係数の定義が
$\left|\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} - A\right|\to 0$ （ $h\to 0$ ）
なのだから、 $\forall\varepsilon\gt0,\exists\delta\gt0$ s.t.
$|h|\lt \delta \Rightarrow \left|\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} - A\right|\lt \varepsilon$
なる $A$ が存在する，つまり $l(x)=f(a)+A(x-a)$ とおくと
$|x-a|\lt \delta \Rightarrow \left|f(x)-l(x)\right|\lt \varepsilon\delta$
が成立するということになる．

これは、縦横比 $\varepsilon : 1$ である横幅 $2\delta$ ，縦幅 $2\varepsilon\delta$ の細長い(傾きが $a$ となる)平行四辺形で覆えるということだから、 $\epsilon\delta$ 的に解釈すると、

任意の $\varepsilon\gt 0$ に対して、ある $\delta\gt0$ が存在して、 $y=f(x)$ は
縦横比 $\varepsilon : 1$ である横幅 $2\delta$ ，縦幅 $2\varepsilon\delta$ の細長い(傾きが $a$ となる)平行四辺形
$a-\delta\lt x\lt a+\delta，f(a)+A(x-a)-\varepsilon\lt y\lt f(a)+A(x-a)+\varepsilon$
で覆い隠せることができる

となる．

$\varepsilon\delta$ 論法に基づく極限の本質は、近づくということは任意の解像度に対して見分けがつかなくなる拡大率が存在するという、箱の中に関数を閉じ込めるところにあり、微分係数で用いる極限においても、同じように箱に閉じ込めるところにある。ただ微分係数の場合は箱が小さくなっていくというだけでなく縦横比 $h$ に依存して平行四辺形の箱がどんどん横長で細くなっていくというところにある。つまり細長い平行四辺形という直線に遠目からは見えてしまうということになる（適切な解像度のデジカメで撮影する（適切なフィルタで max pooling すると）と直線になる）。