2022年（令和4年）東京大学大学院数理科学研究科数理科学専攻修士課程専門科目Ａ第3問

数学

実数 a，b に対して，次の値を求めよ．
\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\cos ax-\cos bx}{x^2} dx

最初，フルラニ積分（Furullani integral）\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{f(ax)-f(bx)}{x} dx に帰着させるのかと思ったが，部分積分をすると \mbox{Si}(x)=\displaystyle\int_0^x \dfrac{\sin x}{x}dx が登場し，フルラニ積分に帰着させる問題ではないことに気がついた．

ちょっと綺麗に書くために
f(t)=\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{1-\cos tx}{x^2} dx
を考えて f(b)-f(a) を計算する方針にした．これを
g(t)=\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\cos tx}{x^2} dx
でやろうとすると g(t) は発散してしまうのでイケナイ．まぁ基本極限 \displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2} を考えれば，g(t) でなく f(t) を考えるのは当然と思うのだけど．

[解答]
部分積分により
\displaystyle\int\dfrac{1-\cos x}{x^2} dx=-\dfrac{1}{x}+\dfrac{\cos x}{x}+\displaystyle\int_0^{x}\dfrac{\sin t}{t}dt+(積分定数)
となるので
\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{1-\cos x}{x^2} dx=-\lim_{x\to +0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}\cdot x+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}
が成立する．よって t\neq 0 のとき
\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{1-\cos tx}{x^2} dx=\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{1-\cos |t|x}{x^2} dx
=|t|\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{1-\cos |t|x}{(|t|x)^2} d(|t|x)=\dfrac{\pi}{2}|t|
となる．よって
\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\cos ax-\cos bx}{x^2} dx=\dfrac{\pi}{2}(|b|-|a|)
となる．

[別解]
f(t)=\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{1-\cos tx}{x^2} dx
とおくと，これは f(0)=0 となる偶関数である．

微分と積分の順序を交換して
f'(t)=\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin tx}{x} dx=\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin u}{u} du=\dfrac{\pi}{2}（t\gt 0）
であるから
f(t)=\dfrac{\pi}{2}t（t\gt 0）
が成立する．f(t) は f(0)=0 なる偶関数であるから，
f(t)=\dfrac{\pi}{2}|t|（t\in\mathbb{R}）
となる．よって
\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\cos ax-\cos bx}{x^2} dx=\dfrac{\pi}{2}(|b|-|a|)
となる．