備忘録：平行軸の定理(ホイヘンス-シュタイナーの定理)

定期的に

中線定理やスチュワートの定理が、分散公式を意味しているという話が X(旧Twitter)で話題になるが、それが力学の

（ある軸に関する物体の慣性モーメントは，重心を通りその軸に平行な軸についての慣性モーメントと，着目している軸に関して，全質量が重心に集中しているとして得られる慣性モーメントとの和として表せること）

とも等価であるという話が

（この定理は物理学の問題や確率論の問題に応用されている．たとえば，ベクトルｐkを位置ベクトルとみれば慣性モーメントの問題となるし，速度ベクトルとみれば運動エネルギーの問題に転化する．全分散を群間分散と群内分散に分解すると考えれば「分散分析」の問題となるのである．）

にある．

以下、引用

多角形の各頂点に重み $w_k$ を設ける．たとえば三角形の場合，重心は

$\overrightarrow{\mbox{OG}}=\dfrac{w_1\overrightarrow{\mbox{OA}}+w_2\overrightarrow{\mbox{OB}}+w_3\overrightarrow{\mbox{OC}}}{ w_1+w_2+w_3}$

ここで，始点を $\mbox{O}$ から $\mbox{P}$ に変えても
$\overrightarrow{\mbox{PG}}= \dfrac{w_1\overrightarrow{\mbox{PA}}+w_2\overrightarrow{\mbox{PB}}+w_3\overrightarrow{\mbox{PC}}}{ w_1+w_2+w_3}$
となって，重心の位置は座標や原点の取り方に依存しないことがわかる．また，始点を $G$ に変えると，
$w_1\overrightarrow{\mbox{PA}}+w_2\overrightarrow{\mbox{PB}}+w_3\overrightarrow{\mbox{PC}} =\overrightarrow{0}$
となる．

ここでは１次モーメントを考えたが，２次モーメントについては，
$w_1|\overrightarrow{\mbox{OA}}|^2+w_2|\overrightarrow{\mbox{OB}}|^2+w_3|\overrightarrow{\mbox{OC}}|^2$ $=w_1|\overrightarrow{\mbox{OG}}+\overrightarrow{\mbox{GA}}|^2+w_2|\overrightarrow{\mbox{OG}}+\overrightarrow{\mbox{GB}}|^2+w_3|\overrightarrow{\mbox{OG}}+\overrightarrow{\mbox{GC}}|^2$ $=(w_1+w_2+w_3) |\overrightarrow{\mbox{OG}}|^2$ $+2\overrightarrow{\mbox{OG}}\cdot(w_1\overrightarrow{\mbox{GA}}+w_2\overrightarrow{\mbox{GB}}+w_3\overrightarrow{\mbox{GC}})$ $+w_1|\overrightarrow{\mbox{GA}}|^2+w_2|\overrightarrow{\mbox{GB}}|^2+w_3|\overrightarrow{\mbox{GC}}|^2$

ここで，
$w_1\overrightarrow{\mbox{GA}}+w_2\overrightarrow{\mbox{GB}}+w_3\overrightarrow{\mbox{GC}}=\overrightarrow{0}$
より，
$w_1|\overrightarrow{\mbox{OA}}|^2+w_2|\overrightarrow{\mbox{OB}}|^2+w_3|\overrightarrow{\mbox{OC}}|^2$ $=(w_1+w_2+w_3)|\overrightarrow{\mbox{OG}}|^2+w_1|\overrightarrow{\mbox{GA}}|^2+w_2|\overrightarrow{\mbox{GB}}|^2+w_3|\overrightarrow{\mbox{GC}}|^2$

すなわち，点 $\mbox{O}$ に関する２次モーメントの和は，点 $\mbox{O}$ に関する重心 $\mbox{G}$ の２次モーメントと重心 $\mbox{G}$ に関する２次モーメントの和に等しいというのがシュタイナーの定理である．

これは数学的にはスチュアートの定理そのものでもある．
$n|\overrightarrow{\mbox{AB}}|^2+m|\overrightarrow{\mbox{AC}}|^2=n|\overrightarrow{\mbox{GB}}|^2+m|\overrightarrow{\mbox{GC}}|^2+(m+n)|\overrightarrow{\mbox{GA}}|^2$