トレミーの定理と角の2等分線の長さ

数学

なるほど。スチュワートの定理もこれでいけそうだな。

\triangle\mbox{ABC} において \mbox{BC} 上に点 \mbox{D} をとり，\triangle\mbox{ABC} の外接円と \mbox{AD} の交点を \mbox{E} とおくと

方羃の定理から
\mbox{DE}=\dfrac{\mbox{BD}\cdot\mbox{CD}}{\mbox{AD}}

\triangle\mbox{ADC}と\triangle\mbox{BDE} が相似であるから
\mbox{BE}=\dfrac{\mbox{AC}\cdot\mbox{BD}}{\mbox{AD}}

\triangle\mbox{ADB}と\triangle\mbox{CDE} が相似であるから
\mbox{CE}=\dfrac{\mbox{AB}\cdot\mbox{CD}}{\mbox{AD}}

よってトレミーの定理から
\mbox{BC}\cdot\left(\mbox{AD}+\dfrac{\mbox{BD}\cdot\mbox{CD}}{\mbox{AD}}\right) =\dfrac{\mbox{AC}^2\cdot\mbox{BD}+\mbox{AB}^2\cdot\mbox{CD}}{\mbox{AD}}
からとなり，両辺に \mbox{AD} を書ければ確かにスチュワートの定理だ
（スチュワートの定理は角の2等分線の長さの定理を含みます）。

（スチュワートの定理は全分散はクラス内分散とクラス間分散の和でかけるという解釈もできるので、中線の角の2等分線の長さも全分散はクラス内分散とクラス間分散の和でかけるという解釈ができるのだなって，この話はブログに書いてないか）。