パップスギュルダンの定理その2 - 球面倶楽部零八式 mark II

いや、本当は違うのだが。

極座標は $\theta$ が一定による切り口と $r$ の座標軸が一致するので

$P(\theta)=$ (切り口の面積)×(切り口の重心までの距離)＝(切り口のモーメント)

という式が成立した。今度は確率密度関数 $p(x,y)$ を傾き座標（そんな単語はない）で表現した $P(x,k)$ を周辺化して $k$ に関する確率密度関数の場合はどうだろうか、って面倒なのでヤコビアンを使って表現すると、

$P(k)=\int x p(x,kx) dx$

となる。これは傾き座標において $k$ が一定による切り口と $x$ の座標軸が一致しないため、 $k$ が一定による切り口の $x$ の座標軸方向への正射影を考えていることになる。

前日の極座標の結果と比べてみよう。 $x=r\cos\theta$ だから

$P(k)=\left(\int r p dr \right)\cos^2\theta= P(\theta)\cdot\cos^2\theta$

が成立する。もちろん、これは $dk=\frac{d\theta}{\cos^2\theta}$ から当然の結果。

ここで $\cos^2\theta$ と、 $\cos\theta$ が2回かかっているのは、面積の正射影と重心までの距離の2つが正射影され、それぞれが $\cos\theta$ 倍になるから。

という訳で、

$P(k)=$ (切り口の $x$ 軸方向への正射影のモーメント)

となることを個人的に勝手に納得した。これでレポートに出す誘導ができた気がする。