n次元球体の体積とn-1次元球面の表面積(n次元極座標のヤコビアン)

数学

一般は半径 r の n 次元超球体の体積を r で微分すれば半径 r の n-1 次元超球面の表面積（n-1 次元体積）が求まる．

そこでn次元球体の体積を求めてみよう．

　n 次元極座標：
x_1=r\cos\theta_1，
x_2=r\sin\theta_1\cos\theta_2，
x_3=r\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3，
…，
x_{n-1}=r\sin\theta_1\cdots \sin\theta_{n-2}\cos\theta_{n-1}，
x_{n}=r\sin\theta_1\cdots \sin\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1}

について，

　n 次元極座標のヤコビアンは
J_n=\dfrac{\partial x}{\partial (r,\theta)}=r^{n-1}\displaystyle\prod_{i=1}^{n-1}\sin^{n-i-1}\theta_i

となる．というのも
J_{n+1}=\begin{pmatrix} \mbox{diag}\{I_{n-1}，\cos\theta_n\} J_n & \begin{pmatrix} 0_{n-1} \\ -x_{n+1} \end{pmatrix} \\ (J_n の n 行目の \sin\theta_{n}倍) & x_n \end{pmatrix}
となるので，
\mbox{det}\, J_{n+1}=\mbox{det}\,\begin{pmatrix} J_n & \begin{pmatrix} 0_{n-1} \\ -\dfrac{x_{n+1}}{\cos\theta_n} \end{pmatrix} \\ (J_n の n 行目の \cos\theta_n\sin\theta_{n}倍) & \cos\theta_nx_n \end{pmatrix}
=\mbox{det}\,\begin{pmatrix} J_n & \begin{pmatrix} 0_{n-1} \\ -\dfrac{x_{n+1}}{\cos\theta_n} \end{pmatrix} \\ 0 & \cos\theta_nx_n+\sin\theta_n x_{n+1} \end{pmatrix}
=\mbox{det}\, J_n \cdot (\cos\theta_nx_n+\sin\theta_n x_{n+1})
=\mbox{det}\, J_n \cdot r \displaystyle\prod_{i=1}^{n-1} \sin\theta_i
が帰納的に成立するので，J_2=r より J_n=\dfrac{\partial x}{\partial (r,\theta)}=r^{n-1}\displaystyle\prod_{i=1}^{n-1}\sin^{n-i-1}\theta_i が言える．

例えば J_3=J_2\cdot r\sin\theta_1=r^2\sin\theta_1，
J_4=J_3\cdot r\sin\theta_1\sin\theta_2=r^3\sin^2\theta_1\sin\theta_2，…
となる．

よって半径 R の n 次元球体の体積 V_n は
V_n=\displaystyle\int dx_1\cdots dx_n=2^n\displaystyle\int_{r=0}^R\int_{\theta_1=0}^{\pi/2}\cdots\int_{\theta_{n-1}=0}^{\pi/2} J_n dr d\theta_1\cdots d\theta_{n-1}（0\leqq \theta_1，\ldots，\theta_{n-2}\leqq \pi，0\leqq \theta_{n-1}\leqq 2\pi）
と書け，Wallis 積分 I_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^n\theta\,d\theta= を用いると
V_{n}=2^n\displaystyle\int_{r=0}^R\int_{\theta_1=0}^{\pi/2}\cdots\int_{\theta_{n-1}=0}^{\pi/2} \left(r^{n-1}\prod_{i=1}^{n-1}\sin^{n-i-1}\theta_i\right) d\theta_1\cdots d\theta_{n-1}=\dfrac{2^n R^n}{n} \displaystyle\prod_{i=0}^{n-2}\int_{0}^{\pi/2} \sin^i \theta\,d\theta=\dfrac{2^nR^n}{n}\displaystyle\prod_{i=0}^{n-2} I_i
と表すことができる．

例えば
V_2=\dfrac{4R^2}{2}I_0=\pi R^2，
V_3=\dfrac{8R^3}{3}I_0I_1=\dfrac{4}{3}\pi R^3，
V_4=\dfrac{16R^4}{4}I_0I_1I_2=4R^4\cdot\dfrac{\pi}{2}\cdot 1\cdot \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi^2}{2}R^4
のようになる．

ここで
\dfrac{V_{n+2}}{V_n}=4R^2\cdot\dfrac{n}{n+2}\cdot I_{n-1}I_n=\dfrac{2R^2}{n+2}\pi
であるから，
V_{2m}=\dfrac{\pi}{m}V_{2m-2}=\cdots=\dfrac{\pi^m}{m!}R^{2m}，
V_{2m+1}=\dfrac{2\pi}{2m+1}V_{2m-2}=\cdots=\dfrac{2^{m+1}\pi^m}{(2m+1)!!}R^{2m+1}
となる．両方あわせて
V_n=\dfrac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\dfrac{n+2}{2}\right)}
と表すことができる．

また，V_n を R で微分することにより
よって半径 R の n-1 次元球面の n-1 次元体積 S_{n-1} は
S_{n-1}=2^nR^{n-1}\displaystyle\prod_{i=0}^{n-2} I_i
であることがわかり，n-1 次元単位球面の n-1 次元体積 S_{n-1} は
S_{n-1}=2^n\displaystyle\int_{\theta_1=0}^{\pi/2}\cdots\int_{\theta_{n-1}=0}^{\pi/2} \left(\prod_{i=1}^{n-1}\sin^{n-i-1}\theta_i\right) d\theta_1\cdots d\theta_{n-1}
=2^n \displaystyle\prod_{i=0}^{n-2}\int_{0}^{\pi/2} \sin^i \theta\,d\theta
と書くことができる．

話は変わって n 次元単位球体の x_1=\cos\theta_1 における切り口は半径 \sin\theta_1 の n-1 次元球体であるから
V_n|_{R=1}=2\displaystyle\int_0^1 V_{n-1}|_{R=1}\cdot \sin^{n-1}\theta_1V_{n-1}dx_1
=2V_{n-1}|_{R=1}\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^{n}\theta_1\,d\theta_1
と求めることができる．これから Wallis 積分を用いて
\dfrac{V_n}{V_{n-1}}= 2I_n\cdot R^2
となる．よって
\dfrac{V_{n+2}}{V_{n}}= 4R^2I_{n+1}I_{n+2}
となる．もちろん I_{n+1}I_{n+2}=\dfrac{n}{n+1}I_{n-1}\cdot \dfrac{n+1}{n+2}I_n =\dfrac{n}{n+2}I_{n-1}I_n だから先程の結果と一致する．