サインカーブの長さ - 球面倶楽部零八式 mark II

サインカーブの長さが第二種楕円積分で表現され、例えば

$y=\sqrt{b^2-1}\sin x(b>1,0\leq x\leq 2\pi)$ の長さが、楕円 $x^2+\frac{y^2}{b^2}=1$ の周長に等しいことが示されるが、この等式自体を直感的に示すことはできないものか。

2019.04.10追記
考え直してみると、楕円積分の形式が、横長の楕円を想定しているので、

$y=\sqrt{a^2-1}\sin x$ （ $a>1$ ）の $x=0$ から $x=\varphi$ までの長さは
横長の楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$ の $(0,1)$ から $(a\sin\varphi,\cos\varphi)$ までの長さに等しい

という方が良かったかも。なお、 $\varphi$ の測り方に注意。