Car Convoy Problem（その5） - 球面倶楽部零八式 mark II

Car Convoy Problem（その3） - 球面倶楽部零八式 mark II

の係数の並びに関する open problem

$\vec{n}=(n,n-1,0,\cdots ,0,0,\cdots)$ とおく．
$\vec{n}^{'}=(0,\vec{n})$ ， $\vec{n}^{'’}=(0,\vec{n}’)$ ， $\vec{n}^{’’'}=(0,\vec{n}’’)$ ， $\vec{n}^{(k)}=(0,\vec{n}^{k-1})$ とおく．

$s=1$ のとき $1$

$s=2$ のとき $1\cdot\vec{3}\simeq (3,2)$

$s=3$ のとき $3\cdot \vec{5}+2\cdot \vec{4}'$ $\simeq (15,12,0)+(0,8,6)=(15,20,6)$

$s=4$ のとき $15\cdot \vec{7}+20\cdot \vec{6}'+6\cdot\vec{5}''$ $\simeq (105,90,0,0)+(0,120,100,0)+(0,0,30,24)=(105,210,130,24)$

$s=5$ のとき $105\cdot \vec{9}+210\cdot \vec{8}'+130\cdot\vec{7}''+24\cdot\vec{6}'''$
$\simeq (945,840,0,0,0)$ $+(0,1680,1470,0,0)$ $+(0,0,910,780,0)$ $+(0,0,0,144,120)$ $=(945,2520,2380,924,120)$ ，

$s=6$ の結果は $(10395,34650,44100,26432,7308,720)$

のように生成できる．つまり
$\alpha_{2(s+1),s+1}$ $=(2s+1)(\alpha_{2s,s}+0)$ ，
$\alpha_{2s+2-k,s+1}$ $=(2s+1-k)(\alpha_{2s-k+1,s}+\alpha_{2s-k,s})$
（ $k=1,2,\ldots,s-1$ ），
$\alpha_{s+2,s+1}$ $=(s+1)(0+\alpha_{s+1,s})$
という関係式が成立する．これを使って $\alpha_{s+t,s}$ ( $t=1,2,\ldots,s$ )の簡単な表現を導くことができれば良いのだが、それは難しそうだ。 $!$ や $!!$ を使って表現するのはちょっと難しそうだ。というのも、 $s=5$ のときに素因数13が登場しているのに、素因数11が登場していないからである．

ちなみに $s=6$ の結果に登場する $26432$ には素因数59が登場する．

計算間違いをしていなければの話だが．