Σ_k=1^∞ k^3/k!

数学

\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k^3}{k!} を求めるとき，つい数列っぽいので
a_n = \dfrac{pk^3+qk^2+rk+s}{k!} とおいて
a_{n+1}-a_n = \dfrac{p(k+1)^3+q(k+1)^2+r(k+1)+s-p(k+1)k^3-q(k+1)k^2-r(k+1)k-s(k+1)}{(k+1)!}
= \dfrac{-pk^4-qk^3+(3p-r)k^2+(3p+2q-s)k+(p+q+r)}{(k+1)!}=\dfrac{k^3(k+1)}{(k+1)!}
の比較しようとして
p=-1，q=-1，r=-3，s=-5
と求めれば
a_{n+1}-a_n =\dfrac{k^4+k^3-5}{(k+1)!}=\dfrac{k^3}{k!}-\dfrac{5}{(k+1)!}
という等式が得られるので，
a_{n+1}-a_1=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left(\dfrac{k^3}{k!}-\dfrac{5}{(k+1)!}\right)
となり
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k^3}{k!}=a_{n+1}-a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{5}{(k+1)!}=a_{n+1}-a_1+\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{5}{k!}-10
となるので n\to\infty として
\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k^3}{k!}=-a_1+5e-10=10+5e-10=5e
と求めれば，，，思ったが，
e^x=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k!}x^k
を微分して
e^x=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k}{k!}x^{k-1}
となり，
xe^x=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k}{k!}x^{k}
だから微分して
e^x+xe^x=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k^2}{k!}x^{k-1}
となり，
xe^x+x^2e^x=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k^2}{k!}x^{k}
だから微分して
e^x+3e^x+x^2e^x=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k^3}{k!}x^{k}
となるので，x=1 として
5e=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k^3}{k!}
でいいんじゃん、となった.

orz

まぁ，x を掛けるというテクニックは不要で k^3=k(k-1)(k-2)+3k(k-1)+k だから
\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k^3}{k!}=\{(e^x)'''+3(e^x)''+(e^x)'\}\Big|_{x=1}=5e
となる．拡張すると k の多項式 f(k) を
k^{\underline{1}}=k，k^{\underline{2}}=k(k-1)，k^{\underline{3}}=k(k-1)(k-2)，…の線形和で書いたときの係数和 を K とするとき，
\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{f(k)}{k!}=Ke
となる．

下降階乗羃
k^{\underline{1}}=k，k^{\underline{2}}=k(k-1)，k^{\underline{3}}=k(k-1)(k-2)，…
については
階乗冪 - Wikipedia
参照

で、数列的に考えるなら階差というよりも
\dfrac{k^3}{k!}=\dfrac{k(k-1)(k-2)+3k(k-1)+k}{k!}
と変形して
\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k^3}{k!}
=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k(k-1)(k-2)+3k(k-1)+k}{k!}
=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k(k-1)(k-2)}{k!}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{3k(k-1)}{k!}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k}{k!}
=\displaystyle\sum_{k=3}^{\infty} \dfrac{1}{(k-3)!}+3\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \dfrac{1}{(k-2)!}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{(k-1)!}
=5\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!}=5e
とするのがおそらく想定解．
（\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k^3}{k!}=\{(e^x)'''+3(e^x)''+(e^x)'\}\Big|_{x=1}=5eと同じ）