De Moivre–Laplace theorem - 球面倶楽部零八式 mark II

この証明の、Wikipedia の微分方程式の解の一意性を用いた証明はなかなか良い。

正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ のみたす微分方程式は
$\dfrac{f'(x)}{f(x)}\cdot\left(-\dfrac{\sigma^2}{x-\mu}\right)=1$
where
$\int f(x)dx=1$

で，二項分布 $B(n,p)$ のみたす差分方程式は $q=1-p$ ， $k=np+c\sqrt{npq}$
（正規分布の $z$ 値 $x=\mu+z\sigma$ と対比せよ）
$\dfrac{p(n,k+1)-p(n,k)}{p(n,k)}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{npq}}{c}\right)$
$=\dfrac{np-k-q}{kq+q}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{npq}}{c}\right)$
$=\dfrac{-c\sqrt{npq}-q}{npq+cq\sqrt{npq}+q}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{npq}}{c}\right)\to 1$ （ $n\to\infty$ ）

普通の，スターリングの公式と
$\log(1+x)$ のマクローリン展開を用いた近似に比べてスマートだ。

なお， $\log(1+x)$ のマクローリン展開を用いた近似を厳密に不等式に落とすのは難しそうだ。というのも $\log(1+x)$ のマクローリン展開が収束するのは $-1\lt x\leqq 1$ であり， $x=-1$ に漸近線をもつので，どのように多項式で評価しても $x\approx -1$ のあたりでは不等式の評価が破綻するからである．