演算子法 / 記号法 - 球面倶楽部零八式 mark II

これ結構面白いなっつってまとめたのに反応激薄で泣いてたやつ https://t.co/hSIVOfL13Z
— D1マン (@11029_8904) 2022年7月5日

この部分分数分解を使って線形漸化式を解くやつ、コメントにあるような「微分方程式に焼き直して解く」のは「演算子法 / 記号法」と呼ばれるもので結構良く使われている手法。この微分方程式における演算子 $D:f\mapsto f'$ を、数列におけるシフト演算子 $T:a_n\mapsto a_{n+1}$ に対応させて焼き直したもので、数列の通常型母関数と関連付けられる。これは20年程前に非常勤をやっていた大学で教えていたなぁ。

記号法による微分方程式の解法について私が最初に知ったのは

工学系学生のための記号法ですぐに解ける微分方程式 (金田数正基礎数学シリーズ)

作者:金田数正
内田老鶴圃

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(の旧版)で、1983年のことであった(昨日フィールズ賞とった June Huh の生まれ年だな。この人の経歴はやばい)。

もっと深い所まで学びたい人は

演算子法上巻

作者:ミクシンスキー
裳華房

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演算子法下巻

作者:ミクシンスキー・ジャン
裳華房

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が適切。ミクシンスキーの本は久々に読み返してみるか。

大学受験参考書だと、シフト演算子を利用した漸化式の解法が

合格王のだれでもできる数学解答術基礎解析編 (東進ブックス)

作者:安本肇
ナガセ

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に載っていたが、今見直してみると
$a_{n+1}=pa_n+q\cdot r^n +s$ ( $p\neq 1,r$ )
の解法しかなかった。
$T(r^n)=r (r^n)$ から $(T-p)(r^n)=(r-p)r^n$ を経由して
$\dfrac{1}{T-p}(r^n)=\dfrac{1}{r-p}(r^n)$
となるので
$a_n=\dfrac{1}{T-p}(r^n +s)=\dfrac{1}{r-p}(r^n +s)$
が特殊解で求まる、という話だけで終了していた。

部分分数分解を用いて、隣接3項間線形漸化式を問いてもいなかったし、
例えば $a_{n+1}=3 a_n +2n+1$ のような漸化式の特殊解も求めていなかった。

ちなみに、 $a_{n+1}=3 a_n +2n+1$ の解法は、
$\Delta = T-1$ が差分演算子になるので、
$(D-2)a_n=(T-3)a_n=2n+1$
から
$a_n=\dfrac{1}{D-2}(2n+1)=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1-D/2}(2n+1)$ $=-\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{D}{2}+\dfrac{D^2}{4}\cdots\right)(2n+1)$ $=-\dfrac{1}{2}\left\{(2n+1)+\dfrac{2}{2}+0+\cdots\right\}$ $=-n-1$
のように特殊解が求まるので，
$a_n=A\cdot 3^n-n-1$
のようになる。