面白い恒等式 - 球面倶楽部零八式 mark II

1になったの図 pic.twitter.com/rE2bNbyVHc
— ａｐｕ (@apu_yokai) 2023年9月10日

$\displaystyle\prod_{k=1}^n 4\cos^2\left(\dfrac{k\pi}{2n+1}\right)=1$

を示すのに， $x^{2n+1}-1$ の因数分解を利用するのだけど

雑誌「大学への数学」1986年11月号の宿題の2問目の

$n$ を3以上の整数とし， $\dfrac{n-1}{2}$ の整数部分を $m$ とするとき，次の2つの値を求めよ．

(1) $\displaystyle\sum_{k=1}^m \tan^2\dfrac{k}{n}\pi$

(2) $\displaystyle\prod_{k=1}^m \tan^2\dfrac{k}{n}\pi$

（読者のレポートは1987年1月号p.63）を思い出した。懐かしそす。

この宿題の解として採用されたレポートはド・モアブルの定理から直接
$\tan^2\dfrac{k}{n}\pi$ （ $k=1,...,m$ で全て異なる）
を解とする $m$ 次方程式を作ってから解と係数の関係を使って値を求めている．

このように解かなかった例として $x^{n}-1$ の因数分解を利用した解法がある．