球面倶楽部零八式 mark II

正確には，回転体の表面積に対する「第一定理」と回転体の体積に対する「第二定理」からなる．

[証明] $y=f(x)$ （ $a\leqq x\leqq b$ （ $a\geqq 0$ ）， $f(x)\geqq 0$ for $x\in[a,b]$ ）を図形 $F$ とし， $F$ を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる図形について考える．

まず， $F$ の重心の $x$ 座標 $g$ は $g=\dfrac{\displaystyle\int_a^b xf(x)dx}{\displaystyle\int_a^b f(x)dx}$ によって定まる．

また回転体の体積 $V$ は，バームクーヘン積分により
$V=\displaystyle\int_a^b 2\pi xf(x) dx$ $=2\pi \displaystyle\int_a^b xf(x) dx$ $=2\pi g \displaystyle\int_a^b f(x) dx$ $= (Fの重心の移動距離)\times (Fの面積)$
となる．これが第二定理である．

$[x,x+dx]$ における線素 $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$ が作る円錐台の側面(または円環)の面積は，
$\pi (2x+dx)\sqrt{dx^2+dy^2}$ $= 2\pi x ds$ (2次の微少量は省略)
となるので，回転体の表面積 $S$ は， $\displaystyle\oint_F 2\pi x\, ds$ となる．

ここで $F$ の周の重心を次のように定めるものとする（これは $F$ の重心ではなく $\partial F$ の重心であり，これらは一般に異なる）

$F$ の周 $\partial F$ の重心の $x$ 座標 $g_{\partial F}$ は $g_{\partial F}=\dfrac{\displaystyle\oint_{\partial F} x \, ds}{\displaystyle\oint_{\partial F} ds}$ によって定める．

このとき，
$S=2\pi g_{\partial F} \displaystyle\oint_{\partial F} ds$ $= (\partial Fの重心の移動距離)\times (\partial Fの長さ)$
となる．これが第一定理である．

要するに，重心の定義そのものがパップス・ギュルダンの定理により，重心の位置を積分計算を経ずに求めることができる図形の場合は，積分計算を経ずして体積や表面積を求めることができるということである．

なお，
$\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\, dx$ $\dfrac{1}{2\pi} (y=\sin x の [0,\pi] 部分を y 軸に関して回転させた図形の体積)$ $=\dfrac{1}{2\pi}\times (重心 x=\dfrac{\pi}{2}の移動距離)\times (y=\sin x の [0,\pi] 部分の面積)$ $=(重心 x=\dfrac{\pi}{2}の位置)\times (y=\sin x の [0,\pi] 部分の面積)$
$=\dfrac{\pi}{2}\times 2$ $=\pi$
のような，大学入試で頻出の積分をパップス・ギュルダンの定理で求めるテクニックはあまり見かけない．