斜めの楕円の面積 - 球面倶楽部零八式 mark II

$ax^2+2bxy+cy^2=1$ で囲まれる楕円の面積 $S$ は $S=\dfrac{\pi}{\sqrt{ac-b^2}}$ となる。

というのも、 $ax^2+2bxy+cy^2=1$ が楕円を表すとき、 $ac-b^2>0,\, a\lt 0,\, c\lt 0$ であり、 $ax^2+2bxy+cy^2=a(x+\dfrac{b}{a}y)^2+\dfrac{ac-b^2}{a}y^2=1$ だから、単位円 $X^2+Y^2=1$ を線型変換
$X=\sqrt{a}x+\dfrac{b}{\sqrt{a}}y,\, Y=\sqrt{\dfrac{ac-b^2}{a}}y$
でうつしたものである。よってその面積 $S$ は単位円の面積 $\pi$ の
$\rm det$ $\begin{pmatrix} \sqrt{a} & \dfrac{b}{\sqrt{a}} \\ 0 & \sqrt{\dfrac{ac-b^2}{a}} \end{pmatrix}^{-1}$ 倍になるからである。

高校生だと、
$x=\dfrac{-bx\pm\sqrt{a-(ac-b^2)y^2}}{a}$ から、ルートの中が0となる $y$ の値 $\alpha=-\dfrac{a}{ac-b^2},\,\beta=\dfrac{a}{ac-b^2}$ を用いて
$S=\displaystyle \dfrac{2}{a} \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{b^2y^2-a(cy^2-1)}dy$ $\displaystyle =\dfrac{2}{a} \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{a-(ac-b^2)y^2}dy$ $\displaystyle =\dfrac{2\sqrt{ac-b^2}}{a} \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\dfrac{a}{ac-b^2}-y^2}dy$
となる。ここで
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\dfrac{a}{ac-b^2}-y^2}dy$ は良く知られているように半円の面積 $\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{a}{ac-b^2}$ を表すので、
$S=\dfrac{2\sqrt{ac-b^2}}{a} \cdot \dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{a}{ac-b^2}$ $=\dfrac{\pi}{\sqrt{ac-b^2}}$
となる。