備忘録：ある積分 - 球面倶楽部零八式 mark II

$I=\displaystyle\int\dfrac{1}{x^n(1+x^n)^{1/n}}dx$
$=\displaystyle\int\dfrac{1}{x^{n+1}\cdot (\dfrac{1}{x^n}+1)^{\frac{1}{n}}}dx$
で $1+\dfrac{1}{x^n}=t$ と置換して
$-\dfrac{n}{x^{n+1}}dx=dt$
から
$I=-\dfrac{1}{n}\displaystyle\int t^{-\frac{1}{n}} dt$
$=\dfrac{1}{1-n} t^{1-\frac{1}{n}}+(積分定数)$
$=\dfrac{1}{1-n}\left(1+\dfrac{1}{x^n}\right)^{\frac{n-1}{n}}+(積分定数)$
となる．