眠り姫問題が流行っている - 球面倶楽部零八式 mark II

細かいところは wikipedia を読む．

公正なコインを投げたと仮定する

(1) 表がでて月曜に質問される確率は $\dfrac{1}{2}$ である．
(2) 裏がでて月曜に質問される確率は $\dfrac{1}{2}$ である．
(3) 裏がでて火曜に質問される確率は $\dfrac{1}{2}$ である．

これらを合計すると $\dfrac{3}{2}\gt 1$ となることに注意する．(2)が起きたら必ず(3)が起きるので(2)(3)は独立ではないし排反でもないからである．

(1) 表がでて月曜に質問される確率は $\dfrac{1}{2}$ である．
(2) 裏がでて月曜に質問される確率は $\dfrac{1}{4}$ である．
(3) 裏がでて火曜に質問される確率は $\dfrac{1}{4}$ である．

というのは間違いである．この3つの確率の合計が1にならないといけないと勘違いしている人も結構多い（眠り姫問題をパラドックスと思うのは、おそらくそのせい）．

3分の1とする立場について，「 $n$ 回の試行において質問される回数は $\dfrac{3}{2}n$ 回であり，それらが(1)(2)(3)のいずれかであるかの確率はそれぞれ $\dfrac{1}{3}$ であるから $P(表 | 質問された)=\dfrac{1}{3}$ である」となる．この場合の全事象は「質問される回数 $\dfrac{3}{2}n$ 回」