たぶんないけど

数学

\log_n(x+y)=\log_n x\cdot \log _n y，n，x，y\in\mathbb{N}
はおそらく解をもたない．だが，n\in\mathbb{N}，x，y\in\mathbb{R} ならある．

x=1 とすると \log_n(1+y)=0 から y=0 となり，y\gt0（真数条件）に矛盾．よって x\neq 1である．

このとき，
\log_n(x+y)=\log_n x^{\log _n y}
から
x+y=x^{\log _n y}
となる．

x^{\log _n y}-x=y
が成立する．y\gt n を固定すると \log_n y\gt 1 より
x(x^{\log _n y-1}-1)=y
となるが，左辺は x\to 0 で 0，x\to\infty で +\infty だから中間値の定理により，与えられた n，y に対して x\in\mathbb{R} が存在するからである．

存在しない証明は難しそうである．

例えば y=n^k（k(\gt 1)は自然数）という条件をつけると
x^k-1=n^k
となり，
n^k-x^k=1
をみたす自然数の組は (n，x，k)=(2，1，1) しか存在せず，x\neq 1 に矛盾するので存在しない．

ふと，x^{\log_n y}=y^{\log_n x} って自明でなさそうで，むっちゃ自明で面白い，と思った．