備忘録：標準正規分布の裾確率 - 球面倶楽部零八式 mark II

$\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{z^3}\leqq\dfrac{\displaystyle\int_z^{\infty}\phi(t)dt}{\phi(z)}\leqq \dfrac{1}{z}$

が成立するのか。

$\phi'(z)=-z\phi(z)$ を利用して部分積分を繰り返すと

$\displaystyle\int_z^{\infty}\phi(t)dt=\phi(z)\left(\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{z^3}+\dfrac{3}{z^5}-\dfrac{15}{z^7}+…\right)$
$\displaystyle\int_z^{\infty}\phi(t)dt=\phi(z)\left(\dfrac{1}{z}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\dfrac{(2n-1)!!}{z^{2n+1}}\right)$
が得られるのか。なるほど。面白い。

自分は上側確率って呼んでるな。