最大値ノルムと無限大ノルム - 球面倶楽部零八式 mark II

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|x_1|^n+|x_2|^n+\cdots +|x_k|^n}$ $=\max\{|x_1|,\, |x_2|,\, \ldots,\, |x_k|\}$ の証明

$\max\{|x_1|,\, |x_2|,\, \ldots,\, |x_k|\}$ $=\sqrt[n]{\max\{|x_1|^n,\, |x_2|^n,\, \ldots,\, |x_k|^n\}}$ $\leqq \sqrt[n]{|x_1|^n+|x_2|^n+\cdots +|x_k|^n}$ $\leqq \sqrt[n]{k\max\{|x_1|^n,\, |x_2|^n,\, \ldots,\, |x_k|^n\}}$ $=\sqrt[n]{k}\max\{|x_1|,\, |x_2|,\, \ldots,\, |x_k|\}$
と、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{k}=1$ から
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|x_1|^n+|x_2|^n+\cdots +|x_k|^n}$ $=\max\{|x_1|,\, |x_2|,\, \ldots,\, |x_k|\}$