不偏分散の証明によく用いる写真1枚目の関係式

✅統計検定1級
不偏分散の証明によく用いる写真1枚目の関係式は、下記の教科書に解説が載っている。
①「現代数理統計学の基礎」P86〜
②「スモールデータ解析と機械学習」P265〜
②の方が、解説が細かくてわかりやすいのでおススメ！ pic.twitter.com/mcyl5SenoC
— こーし⚡️ケミカルエンジニア (@mimikousi) 2022年9月15日

この式変形は、次のようにやるのがエレガント．

記述統計学で習ったように標本分散について
$V=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i^2-\overline{X}^2$
が成り立つ．分散は平行移動に不変なので， $X_i\mapsto X_i-\mu$ と置き直しても値は変わらず，このとき $\overline{X}\mapsto \overline{X}-\mu$
となるので直ちに
$V=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2-(\overline{X}-\mu)^2$
が得られる．

要は、普通の教科書において，この式は
$\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i^2-\overline{X}^2$
の証明と同じことを繰り返しているだけ．
そしてこの式自体は
$f(\alpha)=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n (X_i-\alpha)^2$ $=\overline{X^2}-2\overline{X}\alpha+\alpha^2$ $=(\alpha-\overline{X})^2+\overline{X^2}-\overline{X}^2$
において $\alpha=\overline{X}$ と置けば得られる．