備忘録：一様分布の積の分布

統計


X_1，X_2，X_3，X_4，X_5 は独立同一に [0,10] の一様分布に従う．
P(X_1 X_2X_3X_4X_5\leqq 10000)
を求めよ．

一様分布 U(0,1)に従う i.i.d. の確率変数 X_1,\ldots.X_n 個の積の対数の -1 倍はガンマ分布 \mbox{Ga}(n,1) に従うが、その p.d.f. は \dfrac{1}{(n-1)!}x^{n-1}e^{-x} だから，その不定積分は、解析概論にも載っている有名な公式から
-e^{-x}\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{x^i}{i!}
となる．よって
\displaystyle P\left(\dfrac{1}{\alpha}\leqq \prod_{k=1}^nX_k\leqq\dfrac{1}{\beta}\right)
は Z=-\displaystyle\log\prod_{k=1}^nX_k とおくと
\displaystyle P(\log \beta\leqq Z \leqq \log\alpha)
となるので
\displaystyle P\left(\dfrac{1}{\alpha}\leqq \prod_{k=1}^nX_k\leqq\dfrac{1}{\beta}\right)=\displaystyle\dfrac{1}{\beta}\sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{(\log\beta)^i}{i!}-\displaystyle\dfrac{1}{\alpha}\sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{(\log\alpha)^i}{i!}
で与えられる．

この問題は、\alpha=+\infty，\beta=10^{2}，n=5 であるから
\displaystyle\dfrac{1}{100}\sum_{i=0}^{4}\dfrac{(2\log 10)^i}{i!}=\displaystyle\dfrac{24+48\log 10 + 48(\log 10)^2+ 32(\log 10)^3+ 16(\log 10)^4}{2400}=\displaystyle\dfrac{3+6\log 10 + 6(\log 10)^2+ 4(\log 10)^3+ 2(\log 10)^4}{300}
となる．

要は \mbox{Ga}(n,1) の累積分布関数は
\gamma(n,x)=1-e^{-x}\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{x^i}{i!} for x\gt 0
となる．

この結果から，
第1種不完全ガンマ関数　\gamma(a,x)=\displaystyle\int_0^x t^{a-1} e^{-t}\, dt，
第2種不完全ガンマ関数　\Gamma(a,x)=\displaystyle\int_x^{\infty} t^{a-1} e^{-t}\, dt
は a が自然数 n となる場合には
\Gamma(n,x)=\Gamma(n)e^{-x}\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{x^i}{i!}，
\gamma(n,x)=\Gamma(n)\left(1-e^{-x}\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{x^i}{i!}\right)
となることがわかる．