第一種オイラー積分あるいはベータ積分(自然数版)その2

数学

第一種オイラー積分あるいはベータ積分(自然数版) - 球面倶楽部 零八式 mark II とは関係ない話．

赤熊が

の一連の流れで述べている

「ベータ函数について知ると誰でも

　ほぼ二項係数の逆数になっている。でもちょっと違う。

という方向で疑問に感じるのが普通だと思いますが、このスレッドの立場では

　ベータ函数の逆数が多項係数の特殊な場合として必然的に出て来る

という感じになっています。」

というのは非常に良いことを書いている．

特に

にある
\displaystyle\int_0^1 \dfrac{(m+n+1)!}{m!\cdot 1!\cdot n!} x^m (1-x)^n\,dx=1
という見方，つまり X_k\sim U[0，1] for k=1，\ldots，m+n+1 において m+1 番目に小さい値が従う分布の p.d.f. が
\dfrac{(m+n+1)!}{m!\cdot 1!\cdot n!} x^m (1-x)^n
（例えば 順序統計量 - Wikipedia）
であることから，
\displaystyle\int_0^1 \dfrac{(m+n+1)!}{m!\cdot 1!\cdot n!} x^m (1-x)^n\,dx=1，
つまり
\displaystyle\int_0^1 x^m (1-x)^n\,dx=\dfrac{m!\cdot n!}{(m+n+1)!}
が成立する，というのは非常に良い．