分散を表わす第3の表現 - 球面倶楽部零八式 mark II

えええこんなんあるんだ pic.twitter.com/gDrlQNXy8W
— 数学鉄騎農法/たくろう (@tekkinoho) 2025年6月18日

分散の定義は通常
$v_x=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$
で与えられる．そして分散公式として
$v_x=\overline{x^2}-(\overline{x})^2$
という第2の表現が与えられる．そう言えば，このことが書かれている本もなく，ブログ主も今回初めて書くのだが，そもそも分散は
$\textbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ と $\textbf{1}=(1,\ldots,1)$ のなす角度を $\theta$ とすると
$\cos\theta=\dfrac{\textbf{x}\bullet\textbf{1}}{||\textbf{x}||\cdot ||\textbf{1}||}$ $=\dfrac{n\overline{x}}{\sqrt{n\overline{x^2}}\cdot\sqrt{n}}$ $=\dfrac{\overline{x}}{\sqrt{\overline{x^2}}}$
だから $v_x=\overline{x^2}\sin^2\theta=\dfrac{1}{n}(||\textbf{x}||\sin\theta)^2$ となるので，全てのデータが等しい状況からどれだけずれているかの指標の1つとなっている．

そしてラグランジュの恒等式，もしくは Cauchy-Binet（気分によって Binet-Cauchyとも書く)を用いることにより（もっと本質的な証明は
分散を表わす第3の表現(その2) - 球面倶楽部零八式 mark II
参照）
$v_x=\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{1\leqq i\lt j\leqq n}(x_i-x_j)^2$
と表すことができる．つまり
$v_x=\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{1\leqq i\lt j\leqq n}(x_i-x_j)^2=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$
から
$\displaystyle\sum_{1\leqq i\lt j\leqq n}(x_i-x_j)^2=n\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$
が得られる．この関係式を
備忘録：スチュワートの定理 - 球面倶楽部零八式 mark II
と同じように考えて3次元に拡張してトレースをとると（もしくは $x，y，z$ 座標について考えた式を合計すると）
$\displaystyle\sum_{1\leqq i\lt j\leqq n}||\textbf{x}_i-\textbf{x}_j||^2=n\displaystyle\sum_{i=1}^n ||\textbf{x}_i-\textbf{g}||^2$
（ここで $\textbf{g}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n \textbf{x}_i$ ）
が成立する（分散を表わす第3の表現(その2) - 球面倶楽部零八式 mark II に書いた）ことがわかる（別に何次元の何点と考えても成立するが， $n$ 次元の $n+1$ 点の場合について考えたものが X の投稿）．この分散を表す第3の表現については，今から8年ほど前に雑誌「大学への数学」で見掛けたし，いくつかの統計の本でも見掛けた．