√2+ √3とπ

数学

haruya12.hatenadiary.org

面白かった。そのあと、ツイッターでこの式から \pi^2(10-\pi^2) > 1 を導いて 10-\pi^2 > \dfrac{1}{\pi^2} を導いていたものがあったが、発掘できなかった。

あまり関係ないが、 \cot\dfrac{\pi}{24} =\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{6}=(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}+\sqrt{3}) を思い出した。そしてこれから、4\cos\dfrac{\pi}{5}+\cot\dfrac{\pi}{24}= \sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6} になる。

なお、ここで、\cot\dfrac{\alpha-\beta}{2}=\dfrac{\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}}{\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}}=\dfrac{\cos\alpha+\cos\beta}{\sin\alpha-\sin\beta} に\alpha=\dfrac{\pi}{4},\, \beta=\dfrac{\pi}{6} を代入すると \cot\dfrac{\pi}{24} =\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1} となる。