Jensen の不等式 - 球面倶楽部零八式 mark II

$\lambda_i\gt 0$ とし， $\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i=1$ とする．

$f(x)$ が下に凸のとき，
$\displaystyle \sum_{i=1}^n\lambda_i f(x_i)\geqq f\Bigl(\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i\Bigr)$

が成立する，という Jensen の不等式は， $f(x)$ が微分可能なとき，
$\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i=g$ とおくと，
$f(x)\geqq f'(g)(x-g)+f(g)$ が成立することから，
$\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i f(x_i) \geqq \sum_{i=1}^n \lambda_i\{f'(g)(x_i-g)+f(g)\}$ $=f(g)$
というように，接線での評価に帰着できる．この Jensen の不等式を接線での評価で置き換えても証明できることはあまり意識されていない．