Cayley-Hamilton の定理 - 球面倶楽部零八式 mark II

正方行列 $A$ の固有多項式を $\Phi(x)$ とおく。行列 $xI-A$ （ $I$ は単位行列）の余因子行列を $\rm adj$ $(xI-A)$ とすると

$(xI-A)\cdot$ $\rm adj$ $(xI-A)=$ $\rm det$ $(xI-A)\cdot I=\Phi(x)\cdot I=$ $\Phi(xI)$

が成立する。ここで $\Phi(xI)$ は固有多項式のスカラー $x$ を行列 $xI$ に置き換えた行列の多項式であることに注意する。

行列の等式 $(xI-A)\cdot$ $\rm adj$ $(xI-A)=\Phi(xI)$ において、行列 $xI$ を行列 $A$ に置き換えると、
$O=(A-A)\cdot$ $\rm adj$ $(A-A)=\Phi(A)\cdot I$
となり、 $\Phi(A)=O$ が成立する。

注1) $x^k I =(xI)^k$ ( $k=0,1,2,\ldots$ ) により、 $f(x)I$ を $f(xI)$ と、行列 $xI$ の多項式に書き換えている。ここで $x$ が任意のため、行列の等式において、 $x$ の恒等式となるので、 $x^k$ の係数行列、つまり、 $(xI)^k$ ( $k=0,1,2,\ldots$ )の係数行列も両辺で等しくなる。よってうまく $xI$ を $A$ に置き換えても行列の等式が成立する。

注2) $\rm adj$ $(xI-A)$ の行列 $xI$ を行列 $A$ に置き換える、という操作は難しいかも知れないが、 $\rm adj$ $(xI-A)$ は係数が行列となるスカラー $x$ の多項式になっており、このスカラー $x$ を行列 $xI$ に置き換えた行列と考えていただければ $xI$ を $A$ に置き換える操作がわかり易いだろう。もっとも、それがどのような行列になろうとも、 $(A-A)$ を乗ずることで消えてしまうのだが。