AM-GM と Jensen の不等式 - 球面倶楽部零八式 mark II

AM-GM 不等式を
$f(x)=\log x$ として Jensen の不等式から
$f\Bigl(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n x_n\Bigr) \geqq \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x)$ を経由して導く手法は、接線に帰着すると次のようになる．

$\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i=k$ すると， $\log x\leqq x-1$ により，
$\displaystyle \sum_{i=1}^n \log\Bigl(\dfrac{nx_i}{k}\Bigr) \leqq \sum_{i=1}^n \Bigl(\dfrac{nx_i}{k}-1\Bigr)=0$
だから，
$\displaystyle \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log x_i \leqq \log \dfrac{k}{n} = \log\Bigl(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n x_n\Bigr)$
が成立する．

どちらを使っても
$\log \Bigl(\displaystyle \prod_{i=1}^n x_i\Bigr)^{1/n} \leqq \log\Bigl(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n x_n\Bigr)$
となり，AM-GM 不等式
$\Bigl(\displaystyle \prod_{i=1}^n x_i\Bigr)^{1/n} \leqq \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n x_n$
が得られる．