第一種チェビシェフ多項式 - 球面倶楽部零八式 mark II

𝐴ₙ:=𝑥ⁿ+1/𝑥ⁿ
とすると
𝐴ₙ=𝑎 𝐴ₙ₋₁-𝐴ₙ₋₂
という漸化式ができますね

もっとシンプルにできるかな? https://t.co/pKGdwvpKpp
— ａｐｕ (@apu_yokai) 2023年2月15日

ここまできたら、第一種チェビシェフ多項式 $T_n$ を思い出したい。

$A_n:=x^n+x^{-n}$ とおくと
$A_0=2$ ， $A_1=a$ ， $A_{n}=aA_{n-1}-A_{n-2}$
となるが，これと
$T_0(t)=1$ ， $T_1(t)=t$ ， $T_{n}(t)=2tT_{n-1}(t)-T_{n-2}(t)$
を比べると， $a=2t$ として
$A_0=2T_0(t)$ ， $A_1=2t=2T_1(t)$ ， $A_{n}=2tA_{n-1}-A_{n-2}$
から
$A_n=2T_n(t)＝2T_n\left(\dfrac{a}{2}\right)$
となる．もしくは
$A_n=2\cos\left(n\mbox{Arccos}\dfrac{a}{2}\right)$
となる．

$x=\exp(i t)$ とおくのもイイネ！