備忘録：3次元アステロイドの表面積を計算してみた（Mathlog）

数学

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x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}}=1 の表面積は \dfrac{17}{12}\pi

(1) (\cos^3t\sin^3s,\sin^3t\sin^3s,\cos^3s) とパラメータ表示できることを利用して
S=8\displaystyle\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}9\sin t\cos t \sin^4s\cos s\sqrt{\cos^2 s+\sin^2t\cos^2t\sin^2s}dtds
を示せ．

(2) u=\sin^2 t，v=sin^2 s を用いて
S=9\displaystyle\int_0^{1}\int_0^{1} v^{3/2}\sqrt{(4-3v)-vu^2} dudv
を示せ．

(3) a\gt 0 のとき
\displaystyle\int_0^x \sqrt{a^2-t^2}dt=\dfrac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\mbox{Arcsin}\dfrac{x}{a}\right)
を示せ．

(4) (3)を用いて
S=\dfrac{9}{2}\displaystyle\int_0^{1}\int_0^{1}\left\{v(4-3v)\mbox{Arcsin}\sqrt{\dfrac{v}{4-3v}}+2v^{3/2}\sqrt{1-v}\right\} dv
を示せ．

(5) \displaystyle\int_0^x \mbox{Arcsin}\, t dt =x\mbox{Arcsin}\,x+\sqrt{1-x^2}-1
を示せ．

(6) ベータ関数を利用して S を求めよ．

あたりを誘導して試験になるかな．

\dfrac{2}{9}S=\left[-\left(\dfrac{32}{27}-2v^2+v^3\right)\mbox{Arcsin}\sqrt{\dfrac{v}{4-3v}}\right]_0^1
+\displaystyle\int_0^1\left[\left(\dfrac{8}{27}+\dfrac{2}{9}v-\dfrac{1}{3}v^2\right)v^{-1/2}(1-v)^{-1/2}+2v^{3/2}(1-v)^{1/2}\right]dv

は採点が大変そう。