作用素幾何平均

数学

A,B > 0に対して、X > 0が唯一存在して、B=XA^{-1}Xが成立する。このXをX:=A\, \sharp\, Bと表す。このとき、
A\, \sharp\, B=\sqrt{A}\sqrt{\sqrt{A^{-1}}B\sqrt{A^{-1}}}\sqrt{A}である。というのも
\sqrt{A^{-1}} B\sqrt{A^{-1}} = \sqrt{A^{-1}}XA^{-1}X \sqrt{A^{-1}}=(\sqrt{A^{-1}}X\sqrt{A^{-1}})^2
となるからである。

なお、 A\, \sharp\, B=B\, \sharp\, Aが成立する、というのも、 B=XA^{-1}XならばX^{-1}BX^{-1}=A^{-1}、つまりXB^{-1}X=Aとなるからである。

このとき、(A\,\sharp\, B)A^{-1}(A\,\sharp\,B)
=\sqrt{A}\sqrt{\sqrt{A^{-1}}B\sqrt{A^{-1}}}\sqrt{A}A^{-1}\sqrt{A}\sqrt{\sqrt{A^{-1}}B\sqrt{A^{-1}}}\sqrt{A}
=\sqrt{A}\sqrt{\sqrt{A^{-1}}B\sqrt{A^{-1}}}\sqrt{\sqrt{A^{-1}}B\sqrt{A^{-1}}}\sqrt{A}
=\sqrt{A}\sqrt{A^{-1}}B\sqrt{A^{-1}}\sqrt{A}=B
となる。






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