シンプソンの公式（ケプラーの樽公式）

球台と球帽（球冠）の体積 - 球面倶楽部零八式 mark II
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シンプソンの公式（ケプラーの樽公式）

［シンプソンの公式（ケプラーの樽公式）］
$f(x)$ を3次以下の多項式とするとき，
$\displaystyle\int_a^b f(x) dx =\dfrac{b-a}{6}\{f(a)+4f\Bigl(\dfrac{a+b}{2}\Bigr)+f(b)\}$
が成り立つ．

（これは1921年東京帝國大學工學部4番に出題されている）．

証明は簡単で $\dfrac{a+b}{2}=s$ ， $\dfrac{b-a}{2}=t$ とおき， $f(x)=a(x-s)^3+b(x-s)^2+c(x-s)+d$ とおけば，
$\displaystyle\int_a^b f(x) dx$ $=\displaystyle\int_{s-t}^{s+t} \{a(x-s)^3+b(x-s)^2+c(x-s)+d\} dx$ $=\displaystyle\int_{-t}^{t} \{aX^3+bX^2+cX+d\} dX$ $=\dfrac{2}{3}t^3+2d\cdot t$
であり，
$f(a)=f(s-t)=-at^3+bt^2-ct+d$ ，
$f(b)=f(s+t)=at^3+bt^2+ct+d$ ，
$f\Bigl(\dfrac{a+b}{2}\Bigr)=f(s)=d$
だから
$\dfrac{b-a}{6}\{f(a)+4f\Bigl(\dfrac{a+b}{2}\Bigr)+f(b)\}$ $=\dfrac{t}{3}\{2bt^2+6d\}$ $=\dfrac{2}{3}t^3+2d\cdot t$
となり，よって題意は成立する．