3次関数と x 軸で囲まれる部分の面積 - 球面倶楽部零八式 mark II

$y=(x-a)(x-b)(x-c)$ （ $a\lt b\lt c$ ）と $x$ 軸で囲まれる部分の面積は
$\displaystyle\int_a^b (x-a)(x-b)(x-c) dx$ $-\displaystyle\int_b^c (x-a)(x-b)(x-c) dx$
であるが，この計算はシンプソンの公式（ケプラーの樽公式）

シンプソンの公式（ケプラーの樽公式） - 球面倶楽部零八式 mark II

を使って計算する方が良い場合がある．実際，
$\displaystyle\int_a^b (x-a)(x-b)(x-c) dx$ $-\displaystyle\int_b^c (x-a)(x-b)(x-c) dx$
$=\dfrac{b-a}{6}\cdot 4\cdot\dfrac{-a+b}{2}\cdot \dfrac{a-b}{2}\cdot \dfrac{a+b-2c}{2}$
$-\dfrac{c-b}{6}\cdot 4\cdot\dfrac{b+c-2a}{2}\cdot \dfrac{-b+c}{2}\cdot \dfrac{b-c}{2}$
$=\dfrac{(b-a)^3(2c-a-b)}{12}-\dfrac{(c-b)^3(2a-b-c)}{12}$
と積分計算が不要だからだ．