楕円の準円の求め方(解決編) - 球面倶楽部零八式 mark II

楕円の準円の方程式をこのように求める方法はあまり知られていない。

楕円 $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ の接線を $\displaystyle(\cos\theta) x+(\sin\theta) y=\frac{1}{r_1}$ とおくと、楕円の接線の公式から接点は $(a^2r_1\cos\theta,b^2r_1\sin\theta)$ となり、 $\displaystyle a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta=\frac{1}{r_1^2}$ が成立する。

この接線に直交する接線を $\displaystyle -(\sin\theta) x+(\cos\theta) y=\frac{1}{r_2}$ とおくと、 $\displaystyle a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta=\frac{1}{r_2^2}$ が成立する。

接線の交点は、接線の式の二乗和(束の考え方)もみたすので、
$\displaystyle x^2+y^2=\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}=a^2+b^2$
もみたす。

よって接線の交点は円 $x^2+y^2=a^2+b^2$ 上にある。

ちょっと格好良すぎない？

2023.01.01追記
楕円と双曲線の準円 - 球面倶楽部零八式 mark II
に接線を Hesse の標準形として設定したものに書き換えたものを載せておく．