フィボナッチ数列の加法定理 - 球面倶楽部零八式 mark II

$f_0=0,f_1=1,f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}$ ( $n=0,1,2,...$ )とするとき，
$f_{n+p-1}=f_nf_p+f_{n-1}f_{p-1}$ が成立する．

証明は，
$\vec{f}_n=\begin{pmatrix} f_{n-1} \\ f_{n} \end{pmatrix}$ ( $n=1,2,...$ )とするとき，
$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ とおくと，
$\vec{f}_n=A^{n-1}\vec{f}_1$ だから， $A^{\top}=A$ に注意して，
$f_nf_p+f_{n-1}f_{p-1}=\vec{f}_n^{\top}\vec{f}_p$ $=\vec{f}_1^{\top} A^{n+p-2}\vec{f}_1$ $=(0,1)\vec{f}_{n+p-1}$ $=f_{n+p-1}$
となる．

と書いて少し調べてみると，
shironetsu.hatenadiary.com
という面白そうなページをみつけた。