いじわるな連立方程式 - 球面倶楽部零八式 mark II

これもどっかで見かけたけど出典を見失った

$x^{x+y}=y^{24}$ ， $y^{x+y}=x^{6}$ を解け

出典に $x,y\gt 0$ がついているかどうかを確認したかった．これがあるとないとでは難易度が雲泥の差．というのも，「負の偶数乗」という恐いことを考えないといけないからだ．実際， $(x,y)=(1,-1)$ は解になっている．

$x\gt0$ ， $y\gt 0$ のとき， $x^{x+y}=y^{24}$ ， $y^{x+y}=x^{6}$ を解け

(i) $x=1$ のとき
前者から $y^{24}=1$ だから $y=1$ となり，これらは後者をみたす．

(ii) $x\neq 1$ のとき
$x^{144}=(x^{6})^{24}=(y^{x+y})^{24}=(y^{24})^{x+y}=(x^{x+y})^{x+y}=x^{(x+y)^2}$
だから $x+y=12$ となり，よって
$x^{12}=y^{24}$ ， $y^{12}=x^6$
から $x=y^2$ となり， $x+y=12$ と連立させて $(x,y)=(9,3)$ となる．

以上から， $(x,y)=(1,1)，(9,3)$

$x$ ， $y$ が実数のとき， $x^{x+y}=y^{24}$ ， $y^{x+y}=x^{6}$ を解け

$x=0$ と仮定すると後者から $y^{y}=0$ となり不適であり， $y=0$ と仮定しても前者から $x^x=0$ となり不適．
（ $0^0$ は定義されないのが普通で，定義しても通常は 1）

よって， $x\neq 0$ ， $y\neq 0$ として良い．

(i) $x=1$ のとき
前者から $y^{24}=1$ だから $y=\pm 1$ となり，これらは後者をみたす．

(ii) $x=-1$ のとき
前者から $y^{24}=1$ かつ $x+y$ が偶数だから $y=\pm 1$ となり，これらは後者をみたす．

よって， $(x,y)=(\pm1,\pm1)$ （複号任意）は解となっている．

(iii) $|y|=1$ のときも同様に $(x,y)=(\pm1,\pm1)$ （複号任意）が得られる．

よって，以下， $|x|\neq 1$ ， $|y|\neq 1$ とする．

$x^{144}=(x^{6})^{24}=(y^{x+y})^{24}=(y^{24})^{x+y}=(x^{x+y})^{x+y}=x^{(x+y)^2}$ ，
$y^{144}=(y^{24})^6=(x^{x+y})^6=(x^6)^{x+y}=(y^{x+y})^{x+y}=y^{(x+y)^2}$ ，
であり， $|x|\neq 1$ ， $|y|\neq 1$ であるから， $|x+y|=12$ が必要である．

(iv) $x+y=12$ のとき
$x^{12}=y^{24}$ ， $y^{12}=x^6$
から $|x|=|y|^2$ となり， $x+y=12$ と連立させて $(x,y)=(9,3)$ ， $(16,-4)$ となる（ $x=-y^2$ のとき $y^2-y+12=0$ は実数解をもたない）．

(v) $x+y=-12$ のとき
$x^{-12}=y^{24}$ ， $y^{-12}=x^6$
から $|x|y^2 =1$ となる．
よって $|y+12|y^2=1$ を解く．

(a) $y^3+12y^2+1=0$ の実数解は
$y=-4-16\sqrt[3]{\dfrac{2}{129-\sqrt{257}}}$ $-\sqrt[3]{\dfrac{129-\sqrt{257}}{2}}$
$\approx -12.0069364231325$
で，これは $y+12\lt 0$ をみたす．このとき，
$x=-8+16\sqrt[3]{\dfrac{2}{129-\sqrt{257}}}$ $+\sqrt[3]{\dfrac{129-\sqrt{257}}{2}}$
$\approx 0.0069364231325$

(b) $y^3+12y^2-1=0$ は相異3実数解をもち，厳密解は虚数を利用して表現され，

となり，
数値解は
$y=-11.993047501684，-0.2922559694796，0.2853034711635$
となる．これらは $y+12\gt 0$ をみたす．

以上から
$(x,y)=(1,\pm 1)$ ， $(-1，\pm1)$ ， $(9,3)$ ， $(16,-4)$ ， $(0.0069364231325,-12.0069364231325)$ ， $(-0.00695249831,-11.993047501684)$ ， $(-11.7077440305,-0.2922559694796)$ ， $(-12.2853034712,0.2853034711635)$
の10個